《2025年新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

一平面截球O得到半径为$\sqrt{5}$cm的圆面，球心到这个平面的距离是2cm，则球的半径是　(　　　)
A. 9cm　　B. 3cm　　C. 1cm　　D. 2cm

答案： B

[典例3]　如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1:16，截去的圆锥的母线长是4cm，求圆台O'O的母线长。

2. [变条件]若将本例中的条件变为“已知一个圆台的上、下底面半径分别是1cm，2cm，截得圆台的圆锥的母线长为12cm”，则圆台的母线长为________。

答案：
解:设圆台的母线长为l cm，由截得的圆台上、下底面面积之比为1:16，可设截得的圆台的上、下底面的半径分别为r cm，4r cm，过轴SO作截面，如图所示。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
则△SOA∽△SOA'，SA' = 4 cm。
所以$\frac{SA'}{SA}$ = $\frac{OA'}{OA}$，所以$\frac{4}{4 + l}$ = $\frac{r}{4r}$，
即$\frac{4}{4 + l}$ = $\frac{1}{4}$，解得l = 12，即圆台的母线长为12 cm。

@@
6cm

1. 用长为8，宽为4的矩形作侧面围成一个圆柱，则圆柱的轴截面的面积为　　　　　　(　　　)
A. 32　　　　　　　　　B. $\frac{32}{π}$
C. $\frac{16}{π}$　　　　　　　　　D. $\frac{8}{π}$

答案： B

1. 以下是“已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，且距离等于1，求这个球的半径”的解题过程:
解: 如图，设这两个截面圆的半径分别为r₁, r₂，球心到截面的距离分别为d₁, d₂，球的半径为R，则πr₁² = 5π，πr₂² = 8π，∴r₁² = 5，r₂² = 8。又∵R² = r₁² + d₁² = r₂² + d₂²，∴d₁² - d₂² = 8 - 5 = 3，即(d₁ - d₂)(d₁ + d₂) = 3。
又d₁ + d₂ = 1，
∴$\begin{cases}{d₁ - d₂ = 3，}\\{d₁ + d₂ = 1}\end{cases}$此方程组无解。

分析以上解题过程是否正确。若不正确，你能找出错因吗？

答案：
提示:平行截面有两种情况:在球心的两侧或同侧，题中解答漏掉一种情况。
正解如下:
(1) 平行截面在球心的同侧时，如图。
由$(d_1 - d_2)(d_1 + d_2) = 3$。

又$d_1 - d_2 = 1$，$∴d_1 + d_2 = 3$，
$\begin{cases}d_1 + d_2 = 3 \\ d_1 - d_2 = 1\end{cases}$，解得$\begin{cases}d_1 = 2 \\ d_2 = 1\end{cases}$。
$∴R = \sqrt{2^2 + d_1^2} = \sqrt{5 + 4} = 3$，即球的半径等于3。
(2) 平行截面在球心两侧时，同错解，故所求球的半径等于3。

2. (多选) 连接球面上两点的线段称为球的弦，半径为4的球的两条弦AB, CD的长度分别等于2$\sqrt{7}$, 4$\sqrt{3}$，M, N分别为AB, CD的中点，每条弦的两端都在球面上运动，则　　　　(　　　)
A. 弦AB, CD可能相交于点M
B. 弦AB, CD可能相交于点N
C. MN的最大值为5
D. MN的最小值为1

答案： ACD