《2025年新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

(1)一个正三棱锥的底面边长为3，高为$\sqrt{6}$，则它的侧棱长为(　　　)
A. 2　　　　　　　　B. 2$\sqrt{3}$
C. 3　　　　　　　　　D. 4

答案： C　

如图，已知四棱台ABCD - A₁B₁C₁D₁的上底面、下底面分别是边长为4，8的正方形，各侧棱长均相等，且侧棱长为$\sqrt{17}$，求这个四棱台的高。
　　　　　　　　　　　　　　

答案： 解:由题意可知，该四棱台为正四棱台，连接AC，A₁C₁，过点A₁作A₁E⊥AC于点E(图略)，易知AC = 8$\sqrt{2}$，A₁C₁ = 4$\sqrt{2}$。在△A₁EA中，A₁A = $\sqrt{17}$，AE = $\frac{8\sqrt{2} - 4\sqrt{2}}{2}$ = 2$\sqrt{2}$，所以A₁E = $\sqrt{A₁A² - AE²}$ = $\sqrt{17 - 8}$ = 3，即这个四棱台的高为3。

1. 在一个长方体的容器中，里面装有少量的水，现在将容器绕着其底部的一条棱倾斜。
(1) 在倾斜的过程中，水面的形状不断变化，可能是矩形，也可能变成不是矩形的平行四边形，对吗？
(2) 在倾斜的过程中，水的形状也不断变化，可能是棱柱，也可能变为棱台或棱锥，对吗？
(3) 如果倾斜时，不是绕着底部的一条棱，而是绕着其底面的一个顶点，上面的第(1)问和第(2)问对不对？

答案：
解:
(1) 不对. 水面的形状就是用一个与棱（长方体容器倾斜时固定不动的棱）平行的平面截长方体时截面的形状，因而可以是矩形，但不可能是其他非矩形的平行四边形.
(2) 不对. 水的形状就是用与棱（长方体容器倾斜时固定不动的棱）平行的平面将长方体截去一部分后，剩余部分的几何体，此几何体是棱柱，水比较少时，是三棱柱；水多时，可能是四棱柱或五棱柱，但不可能是棱台或棱锥.
(3) 用任意一个平面去截长方体，其截面形状可以是三角形、四边形、五边形、六边形，因而水面的形状可以是三角形、四边形、五边形、六边形；水的形状可以是棱锥、棱柱，但不可能是棱台. 故
(1)不对，
(2)不对.

2. 如图所示是一个三棱台 ABC - A₁B₁C₁。

(1) 如果把这个三棱台截成三个三棱锥，则这三个三棱锥分别是______________________________；
(2) 如果把这个三棱台截成两个多面体，则这两个多面体可以是____________________________。(答案不唯一)

答案：
(1) A₁ - ABC，A - BB₁C，A₁ - BCC₁
(2) 两个三棱台（或一个三棱柱和一个五面体或一个三棱锥和一个五面体）

(2)一个直平行六面体的侧棱长是9，底面相邻的两边的长都是6，夹角是60°，则此直平行六面体的体对角线长是________。

答案： 3$\sqrt{13}$和3$\sqrt{21}$