《2025年新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

(1)(多选)若函数$f(x)=2\sin(\frac{\pi}{5}x - \frac{\pi}{4})$，则（ ）
A. $f(x)$的最小正周期为$10$
B. $f(x)$的图象关于点$(\frac{5}{4},0)$对称
C. $f(x)$在$(0,\frac{25}{4})$上有最小值
D. $f(x)$的图象关于直线$x = \frac{15}{4}$对称

答案： AD

(2)记函数$f(x)=\cos(\omega x + \varphi)(\omega＞0,0＜\varphi＜\pi)$的最小正周期为$T$。若$f(T)=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$x = \frac{\pi}{9}$为$f(x)$的零点，则$\omega$的最小值为________。

答案： 3

1. 已知函数$f(x)=\sin(\omega x + \frac{\pi}{6})(\omega＞0)$在$(0,\frac{\pi}{3})$内单调递增，且$f(\frac{\pi}{4}) = f(\frac{\pi}{2})$，则$\omega =$（ ）
A. $\frac{2}{3}$
B. $\frac{5}{8}$
C. $\frac{8}{9}$
D. $1$

答案： C

2. (多选)已知函数$f(x)=\cos(\omega x + \varphi)$的一个最大值点为$x = -\frac{\pi}{12}$，与之相邻的一个零点为$x = \frac{\pi}{6}$，则（ ）
A. $f(x)$的最小正周期为$\pi$
B. $f(x + \frac{\pi}{6})$为奇函数
C. $f(x)$在$[\frac{5\pi}{12},\frac{11\pi}{12}]$上单调递增
D. $f(x)$在$[0,\frac{\pi}{4}]$上的值域为$[-\frac{\sqrt{3}}{2},1]$

答案： BC

3. 已知函数$f(x)=2\sin(\omega x + \varphi)(\omega＞0,|\varphi|＜\frac{\pi}{2})$图象的相邻两条对称轴之间的距离为$\frac{\pi}{2}$，且$f(x) \leq f(\frac{\pi}{6})$恒成立。
(1)求函数$f(x)$的解析式；
(2)求函数$f(x)$在$[-\pi,\pi]$上的单调递增区间。

答案： 解:
(1)因为f(x)=2sin(ωx+φ)(ω＞0,|φ|＜$\frac{π}{2}$)图象的相邻两条对称轴之间的距离为$\frac{π}{2}$,所以T = π.而ω＞0,由$T=\frac{2π}{\omega}$解得ω = 2.因为f(x)=2sin(2x + φ),且f(x) ≤ f($\frac{π}{6}$)恒成立，所以f($\frac{π}{6}$)为f(x)的最大值，即f($\frac{π}{6}$)=2sin(2×$\frac{π}{6}$ + φ)=2,则2×$\frac{π}{6}$ + φ = 2kπ + $\frac{π}{2}$,k∈Z,所以φ = 2kπ + $\frac{π}{6}$,k∈Z.因为|φ|＜$\frac{π}{2}$,所以φ = $\frac{π}{6}$,所以f(x)=2sin(2x + $\frac{π}{6}$).
(2)令 - $\frac{π}{2}$ + 2kπ ≤ 2x + $\frac{π}{6}$ ≤ $\frac{π}{2}$ + 2kπ,k∈Z,解得 - $\frac{π}{3}$ + kπ ≤ x ≤ $\frac{π}{6}$ + kπ,k∈Z.因为x∈[-π,π],所以f(x)在[-π,π]上的单调递增区间是[-π,-$\frac{5π}{6}$],[-$\frac{π}{3}$,$\frac{π}{6}$],[$\frac{2π}{3}$,π].