《2025年新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

[例4]　(1)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b² + c² − a² = bc = 1，则△ABC的面积为　　　(　　　)
A.$\frac{\sqrt{3}}{4}$　　　　　　　　B.$\frac{3\sqrt{3}}{2}$
C.$\frac{\sqrt{3}}{4}$　　　　　　　　D.$\frac{\sqrt{3}}{2}$

答案： C

(2)某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°的方向上，距离为12$\sqrt{6}$nmile，在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°的方向上，距离为8$\sqrt{3}$nmile，货轮由A处向正北方向航行到D处时，再看灯塔B在南偏东45°的方向上，求:
①A，D间的距离;
②C，D间的距离。

答案：
解:如图,∠DAB=75°,∠ADB=45°,∠DAC　=30°,AB=12$\sqrt{6}$,AC=8$\sqrt{3}$
　①在△ABD中,∠ABD=60°,　由正弦定理，得$\frac{AB}{sinADB}$=$\frac{AD}{sinABD}$,
∴AD=$\frac{ABsinABD}{sinADB}$=12$\sqrt{6}$×$\frac{sin60°}{sin45°}$=36(nmile).
　②在△ACD中,由余弦定理得CD²=AC²+AD²−2AC×ADcos∠DAC=(8$\sqrt{3}$)²+36²−2×8$\sqrt{3}$×36×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=16×39,
∴CD=4$\sqrt{39}$(nmile).

1. 在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若a = 4$\sqrt{2}$，b = 5，cosA = $\frac{3}{5}$，则B等于　(　　　)
A.$\frac{π}{4}$　　　　　　　　　B.$\frac{π}{4}$或$\frac{3π}{4}$
C.$\frac{π}{3}$　　　　　　　　　D.$\frac{π}{3}$或$\frac{2π}{3}$

答案： A

2. 在△ABC中，已知AB = 3，BC = $\sqrt{13}$，AC = 4，则边AC上的高为　　　　　　　　　　(　　　)
A.$\frac{3\sqrt{3}}{2}$　　　　　　　　B.$\frac{3\sqrt{3}}{2}$
C.$\frac{3}{2}$　　　　　　　　　D.3$\sqrt{3}$

答案： B

3. (2024·全国甲卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B = $\frac{π}{3}$，b² = $\frac{9}{4}$ac，则sinA + sinC =　　　　　　　　　　　　(　　　)
A.$\frac{2\sqrt{39}}{13}$　　　　　　　B.$\frac{\sqrt{39}}{13}$
C.$\frac{\sqrt{7}}{2}$　　　　　　　　　D.$\frac{3\sqrt{13}}{13}$

答案： C