《2025年新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

2. 化简求值:

(1)sin20°cos70° + sin10°sin50°;

(2)cos10°cos30°cos50°cos70°.

答案：

解:
(1)sin20°cos70° + sin10°sin50° = $\frac{1}{2}$(sin90° - sin50°) - $\frac{1}{2}$(cos60° - cos40°) = $\frac{1}{4}$ - $\frac{1}{2}$sin50° + $\frac{1}{2}$cos40°

= $\frac{1}{4}$ - $\frac{1}{2}$sin50° + $\frac{1}{2}$sin50° = $\frac{1}{4}$。

(2)原式 = $\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{1}{2}$(cos60° + cos40°)cos70°

= $\frac{\sqrt{3}}{4}$cos60°cos70° + $\frac{\sqrt{3}}{4}$cos40°cos70°

= $\frac{\sqrt{3}}{8}$cos70° + $\frac{\sqrt{3}}{4}$×$\frac{1}{2}$(cos110° + cos30°)

= $\frac{\sqrt{3}}{8}$cos70° + $\frac{\sqrt{3}}{8}$cos110° + $\frac{\sqrt{3}}{8}$cos30° = $\frac{\sqrt{3}}{8}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$ = $\frac{3}{16}$。

1. 求函数$f(x)=\cos(x + \frac{2\pi}{3})+\cos(x - \frac{\pi}{6})$，$x\in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$的最值。

答案： 解：$f(x)=\cos(x+\frac{2\pi}{3})+\cos(x-\frac{\pi}{6})$
$=2\cos\frac{(x+\frac{2\pi}{3})+(x-\frac{\pi}{6})}{2}\cos\frac{(x+\frac{2\pi}{3})-(x-\frac{\pi}{6})}{2}$
$=2\cos(x+\frac{\pi}{4})\cos\frac{5}{12}\pi$，又$\cos\frac{5}{12}\pi=\cos(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{6})$
$=\cos\frac{\pi}{4}\cos\frac{\pi}{6}-\sin\frac{\pi}{4}\sin\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$，
$\therefore f(x)=2\cos(x+\frac{\pi}{4})\cos\frac{5}{12}\pi=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}\cos(x+\frac{\pi}{4})$。
$\because x\in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$，$\therefore x+\frac{\pi}{4}\in[-\frac{\pi}{4},\frac{3}{4}\pi]$。
$\therefore \cos(x+\frac{\pi}{4})\in[-\frac{\sqrt{2}}{2},1]$，$\therefore f(x)$的最大值为$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$，最小值为$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}\times(-\frac{\sqrt{2}}{2})=\frac{2-\sqrt{3}}{2}$。

2. 在①$g(x)=\cos x$，②$g(x)=\sin x$，③$g(x)=\cos(x + \frac{\pi}{4})$，④$g(x)=\sin(x + \frac{\pi}{4})$中任取一个条件，补充在下面的问题中，并解决问题。
已知________，函数$f(x)=g(x)\cos(x + \frac{\pi}{4})$，试确定函数$f(x)$的周期。

答案： 解：选①，当$g(x)=\cos x$时，
$f(x)=\cos x\cos(x+\frac{\pi}{4})=\frac{1}{2}\cos(2x+\frac{\pi}{4})+\frac{\sqrt{2}}{4}$，
此时$f(x)$周期为$\pi$；
选②，当$g(x)=\sin x$时，$f(x)=\sin x\cos(x+\frac{\pi}{4})=\frac{1}{2}\sin(2x+\frac{\pi}{4})-\frac{1}{4}$，此时$f(x)$周期为$\pi$；
选③，当$g(x)=\cos(x+\frac{\pi}{4})$时，
$f(x)=\cos(x+\frac{\pi}{4})\cos(x+\frac{\pi}{4})=\frac{1}{2}\cos(2x+\frac{\pi}{2})+\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}\sin2x+\frac{1}{2}$，
此时$f(x)$周期为$\pi$；
选④，当$g(x)=\sin(x+\frac{\pi}{4})$时，
$f(x)=\sin(x+\frac{\pi}{4})\cos(x+\frac{\pi}{4})=\frac{1}{2}\sin(2x+\frac{\pi}{2})=\frac{1}{2}\cos2x$，此时$f(x)$周期为$\pi$。