《2025年新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

(1)函数y = $\sqrt{cosx - \frac{1}{2}}$的定义域为　　　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)
A. [−$\frac{π}{3}$, $\frac{π}{3}$]
B. [kπ - $\frac{π}{3}$, kπ + $\frac{π}{3}$], k∈Z
C. [2kπ - $\frac{π}{3}$, 2kπ + $\frac{π}{3}$], k∈Z
D. R

答案： C

(2)下列函数有最大值、最小值吗？如果有，请写出取最大值、最小值时自变量x的集合，并求出最大值、最小值。
①y = cosx + 1, x∈R;
②y = 2 - cos$\frac{x}{3}$, x∈R。

答案： 解:①使函数y = cosx + 1, x ∈ R取得最大值的x的集合，就是使函数y = cosx, x ∈ R取得最大值的x的集合{x|x = 2kπ, k ∈ Z};使函数y = cosx + 1, x ∈ R取得最小值的x的集合，就是使函数y = cosx, x ∈ R取得最小值的x的集合{x|x = (2k + 1)π, k ∈ Z}.函数y = cosx + 1, x ∈ R的最大值是1 + 1 = 2;最小值是 -1 + 1 = 0.
②当cos$\frac{x}{3}$ = -1即$\frac{x}{3}$ = 2kπ + π, k ∈ Z,即当x ∈ {x|x = 6kπ + 3π, k ∈ Z}时，函数取得最大值3;当cos$\frac{x}{3}$ = 1即$\frac{x}{3}$ = 2kπ, k ∈ Z,即当x ∈ {x|x = 6kπ, k ∈ Z}时，函数取得最小值1.

1. 已知函数y = 2cosα的定义域为[$\frac{π}{3}$, $\frac{4π}{3}$]，值域为[a, b]，则b - a的值是　　　　　　(　　　)
A. 2
B. 3
C. $\sqrt{3}$ + 2
D. 2$\sqrt{3}$

答案： B

2. 函数y = cos²x - 3cosx + 2的最小值是(　　　)
A. 2
B. 0
C. $\frac{1}{4}$
D. 6

答案： B

3. [变条件]若把本例(1)中“cosx - $\frac{1}{2}$”变为“2cosx + 1”结果如何？

答案： 解:由2cosx + 1 ≥ 0得2kπ - $\frac{2π}{3}$ ≤ x ≤ 2kπ + $\frac{2π}{3}$, k ∈ Z.
　所以函数y = $\sqrt{2cosx + 1}$的定义域是
　[2kπ - $\frac{2π}{3}$, 2kπ + $\frac{2π}{3}$](k ∈ Z).

(1)若函数y = sinx和y = cosx在区间D上都单调递增，则区间D可以是(　　　)
A. (0, $\frac{π}{2}$)
B. ($\frac{π}{2}$, π)
C. (π, $\frac{3}{2}$π)
D. ($\frac{3π}{2}$, 2π)

答案： D

(2)比较下列各组数的大小。
①cos(−$\frac{π}{18}$), cos$\frac{π}{10}$;
②cos(cos$\frac{3π}{8}$), cos(sin$\frac{3π}{8}$)。

答案： ①cos(-$\frac{π}{18}$) = cos$\frac{π}{18}$.
∵0 ＜ $\frac{π}{18}$ ＜ $\frac{π}{10}$ ＜ π,而y = cosx在[0, π]上单调递减，
∴cos$\frac{π}{18}$ ＞ cos$\frac{π}{10}$,即cos(-$\frac{π}{18}$) ＞ cos$\frac{π}{10}$.
　②cos$\frac{3π}{8}$ = sin$\frac{π}{8}$.
∵0 ＜ $\frac{π}{8}$ ＜ $\frac{3π}{8}$ ＜ $\frac{π}{2}$,且y = sinx在[0, $\frac{π}{2}$]上单调递增,
∴sin$\frac{π}{8}$ ＜ sin$\frac{3π}{8}$,即0 ＜ cos$\frac{3π}{8}$ ＜ sin$\frac{3π}{8}$ ＜ 1.
　而y = cosx在(0, 1)上单调递减，
∴cos(cos$\frac{3π}{8}$) ＞ cos(sin$\frac{3π}{8}$).

1. 下列函数周期为π且为偶函数的是　　(　　　)
A. y = cos(2x - $\frac{π}{2}$)
B. y = sin(2x + $\frac{π}{2}$)
C. y = sin(x + $\frac{π}{2}$)
D. y = cos(x - $\frac{π}{2}$)

答案： B

2. 不通过求值，比较下列各组中两个三角函数值的大小:
(1)cos$\frac{2}{7}$π与cos(−$\frac{3π}{5}$);
(2)cos(−$\frac{23π}{5}$)与cos(−$\frac{17π}{4}$)。

答案： 解:
(1)cos(-$\frac{3π}{5}$) = cos$\frac{3π}{5}$,
∵0 ＜ $\frac{2}{7}$π ＜ $\frac{3}{5}$π ＜ π,且y = cosx在[0, π]上单调递减,
∴cos$\frac{2}{7}$π ＞ cos$\frac{3π}{5}$,即cos$\frac{2}{7}$π ＞ cos(-$\frac{3π}{5}$).
(2)cos(-2) = cos2,
　cos(-$\frac{17π}{4}$) = cos$\frac{17π}{4}$ = cos$\frac{π}{4}$.
∵0 ＜ $\frac{π}{4}$ ＜ 2 ＜ π,且函数y = cosx在区间[0, π]上单调递减,
∴cos$\frac{π}{4}$ ＞ cos2,即cos(-$\frac{17π}{4}$) ＞ cos(-2).

1. 已知函数$f(x)=a - b\cos x$的最大值是$\frac{3}{2}$，最小值是$-\frac{1}{2}$，求函数$y = 4\sin ax + b$的最大值、最小值及周期。
某同学的解题过程如下:
解: 由题意知$b\neq0$，$\because -1\leqslant\cos x\leqslant1$，
$\therefore -b\leqslant b\cos x\leqslant b$，$\therefore a - b\leqslant a - b\cos x\leqslant a + b$。
$\begin{cases}a + b = \frac{3}{2}\\a - b = -\frac{1}{2}\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = \frac{1}{2}\\b = 1\end{cases}$。
$\therefore y = 4\sin\frac{1}{2}x + 1$。此时$y = 4\sin\frac{1}{2}x + 1$的最大值为$5$，最小值为$-3$，周期为$4\pi$。
分析以上解题过程是否正确。若不正确，请写出正确的解题过程。

答案： 提示:错误，原因是只考虑了b＞0这一种情况而导致解答不完整，事实上b的符号未定，故 - bcosx的最值不仅与cosx有关，还与b的正负有关，因此应按b＞0与b＜0讨论。
正解如下:
由题意知b≠0，
∵ - 1≤cosx≤1，
当b＞0时， - b≤bcosx≤b，
∴a - b≤a - bcosx≤a + b。
$\begin{cases}a + b = \frac{3}{2}\\a - b = - \frac{1}{2}\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = \frac{1}{2}\\b = 1\end{cases}$。
∴y = 4sin$\frac{1}{2}$x + 1。此时y = 4sin$\frac{1}{2}$x + 1的最大值为5，最小值为 - 3，周期为4π。
同理，当b＜0时，可得$\begin{cases}a - b = \frac{3}{2}\\a + b = - \frac{1}{2}\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = \frac{1}{2}\\b = - 1\end{cases}$。
∴y = 4sin$\frac{1}{2}$x - 1。此时y = 4sin$\frac{1}{2}$x - 1的最大值为3，最小值为 - 5，周期为4π。

2. 若弹簧振子相对平衡位置的位移$x$（单位: $cm$）与时间$t$（单位: $s$）之间的函数关系如图所示。

(1) 求该函数的周期;
(2) 求$t = 10.5s$时该弹簧振子相对平衡位置的位移。

答案： 解:
(1)设函数的周期为T，
利用周期的定义知$\frac{T}{2}$ = 3.5 - 1.5，所以函数的周期T = 4s。
(2)由
(1)知函数的周期为4s，
可知f(10.5) = f(2.5 + 2×4) = f(2.5) = - 8(cm)。
故t = 10.5s时弹簧振子相对平衡位置的位移为 - 8cm。

3. 把条件①偶函数，②奇函数，③$\pi$，④$\frac{13\pi}{12}$分成两组①③，②④，按顺序填到下面题干中并完成解答。定义在$R$上的函数$f(x)$既是________，又是周期函数，若$f(x)$的最小正周期为________，且当$x\in[0,\frac{\pi}{2}]$时，$f(x)=\sin x$，求$f(\frac{5\pi}{3})$的值。

答案： 解:若选①③，则f($\frac{5π}{3}$) = f(2π - $\frac{π}{3}$) = f(- $\frac{π}{3}$) = f($\frac{π}{3}$) = sin$\frac{π}{3}$ = $\frac{\sqrt{3}}{2}$。
故f($\frac{5π}{3}$) = $\frac{\sqrt{3}}{2}$。
若选②④，则f($\frac{5π}{3}$) = f($\frac{5π}{3}$ - $\frac{13π}{12}$×2) = f(- $\frac{π}{2}$) = - f($\frac{π}{2}$) = - sin$\frac{π}{2}$ = - 1。