《2025年新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

1. 已知tanα = 2,tanβ = 3,则sin²αcos²β - 2cos²αsin²β + sinαsinβcosαcosβ的值为________.

答案： -$\frac{4}{25}$

(2)已知tanα + $\frac{1}{tanα}$ = 4(α∈(π,$\frac{3}{2}$π))，则sinα + cosα等于(　　　)
A. $\frac{\sqrt{6}}{2}$　　B. −$\frac{\sqrt{6}}{2}$　　C. $\frac{\sqrt{6}}{3}$　　D. −$\frac{\sqrt{6}}{3}$

答案： B

2. 已知条件sinθ + cosθ = $\frac{1}{5}$,且θ∈(0,π),可以得到以下结论:
(1)______________________________
(2)______________________________;
(3)______________________________.
请根据题设条件写出可以得到的结论，并写出具体的解题过程。

答案： 解：本题的结论是开放的。由sinθ + cosθ = $\frac{1}{5}$可以得出的结论是多样的，为此需明确方向。从同角三角函数的基本关系入手。
因为sinθ + cosθ = $\frac{1}{5}$，所以(sinθ + cosθ)² = $\frac{1}{25}$，
即sin²θ + cos²θ + 2sinθcosθ = $\frac{1}{25}$，
所以得sinθcosθ = -$\frac{12}{25}$ ①；
此外注意到(sinθ - cosθ)² = (sinθ + cosθ)² - 4sinθcosθ，
因此(sinθ - cosθ)² = $\frac{49}{25}$ ②；
由sinθcosθ = -$\frac{12}{25}$＜0，且θ∈(0, π)可知，θ∈($\frac{π}{2}$, π)，
从而sinθ - cosθ = $\frac{7}{5}$ ③；
亦可将③式与条件联立，得sinθ = $\frac{4}{5}$，cosθ = -$\frac{3}{5}$ ④；
由④式可得tanθ = -$\frac{4}{3}$ ⑤；等等
从①②③④⑤中选择任意三个填上即可。

1. 下面是某同学对“若sinA = $\frac{4}{5}$,且A是三角形的一个内角，求$\frac{5sinA + 8}{15cosA - 7}$的值”的解题过程。
解: 因为sinA = $\frac{4}{5}$,
所以cosA = 　　$\sqrt{1 - sin²A}$ = $\frac{3}{5}$,
所以$\frac{5sinA + 8}{15cosA - 7}$ = 　　　　　$\frac{5×\frac{4}{5} + 8}{15×\frac{3}{5} - 7}$ = 6.
试分析这位同学的解题过程是否正确。若不正确，指出错在何处，并给出正确的解题过程。

答案： 提示：这位同学解题错误，错误的原因是忽略讨论三角函数值的符号。由sinA = $\frac{4}{5}$说明A是锐角或钝角，那么cosA就有正、负之分，解题时容易忽视开方的符号而出现疏漏，上面解法就犯了此种错误。使用开方关系sinα = ±$\sqrt{1 - cos^{2}\alpha}$和cosα = ±$\sqrt{1 - sin^{2}\alpha}$时，一定要注意正、负号的选取，确定正、负的依据是角α所在的象限，如果角α所在的象限是已知的，则按三角函数值在各个象限的符号来确定正、负号；如果角α所在的象限是未知的，则需按象限进行讨论。
正解如下：
∵sinA = $\frac{4}{5}$＞0，
∴A为锐角或钝角。
当A为锐角时，cosA = $\sqrt{1 - sin^{2}A}$ = $\frac{3}{5}$，
∴原式 = 6。
当A为钝角时，cosA = -$\sqrt{1 - sin^{2}A}$ = -$\frac{3}{5}$，
∴原式 = $\frac{5\times\frac{4}{5}+8}{15\times(-\frac{3}{5}) - 7}$ = -$\frac{3}{4}$。

化简:(1)sin²αtanα + $\frac{cosα}{tanα}$ + 2sinαcosα;
(2)$\sqrt{\frac{1 + cosα}{1 - cosα}}$ ÷ $\sqrt{\frac{1 - cosα}{1 + cosα}}$(180°＜α＜270°).

答案： 解:
(1)原式 = $\sin^{2}\alpha \cdot \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} + \cos\alpha \cdot \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} + 2\sin\alpha\cos\alpha$ = $\frac{\sin^{4}\alpha + \cos^{4}\alpha + 2\sin^{2}\alpha\cos^{2}\alpha}{\cos\alpha\sin\alpha}$ = $\frac{(\sin^{2}\alpha + \cos^{2}\alpha)^2}{\sin\alpha\cos\alpha}$ = $\frac{1}{\sin\alpha\cos\alpha}$。
(2)因为180°＜α＜270°，所以sinα＜0。原式 = $\sqrt{\frac{(1 + \cos\alpha)}{1 - \cos^{2}\alpha}}$ + $\sqrt{\frac{(1 - \cos\alpha)}{1 - \cos^{2}\alpha}}$ = $\frac{1 + \cos\alpha}{|\sin\alpha|}$ + $\frac{1 - \cos\alpha}{|\sin\alpha|}$ = $\frac{2}{|\sin\alpha|}$ = -$\frac{2}{\sin\alpha}$。

[典例4]　(1)化简:$\frac{cos36° - \sqrt{1 - cos²36°}}{\sqrt{1 - 2sin36°cos36°}}$;
(2)求证:$\frac{sinα - cosα + 1}{sinα + cosα - 1}$ = $\frac{1 + sinα}{cosα}$.

答案： 解:
(1)原式 = $\sqrt{\sin^{2}36^{\circ} + \cos^{2}36^{\circ} - 2\sin36^{\circ}\cos36^{\circ}}$ = $\sqrt{(\cos36^{\circ} - \sin36^{\circ})^2}$ = |cos36° - sin36°| = cos36° - sin36° = 1。
(2)证明:左边 = $\frac{(\sin\alpha - \cos\alpha + 1)(\sin\alpha + \cos\alpha + 1)}{(\sin\alpha + \cos\alpha - 1)(\sin\alpha + \cos\alpha + 1)}$ = $\frac{(\sin\alpha + 1)^2 - \cos^{2}\alpha}{(\sin\alpha + \cos\alpha)^2 - 1}$ = $\frac{(\sin^{2}\alpha + 2\sin\alpha + 1) - (1 - \sin^{2}\alpha)}{\sin^{2}\alpha + \cos^{2}\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha - 1}$ = $\frac{2\sin^{2}\alpha + 2\sin\alpha}{1 + 2\sin\alpha\cos\alpha - 1}$ = $\frac{2\sin\alpha(\sin\alpha + 1)}{2\sin\alpha\cos\alpha}$ = $\frac{1 + \sin\alpha}{\cos\alpha}$ = 右边。所以原等式成立。

2. 已知sinα + cosα = $\frac{\sqrt{3}}{3}$,求tanα + $\frac{1}{tanα}$及sinα - cosα的值。

答案： 解:将sinα + cosα = $\frac{\sqrt{3}}{3}$两边平方，得sinαcosα = -$\frac{1}{3}$。
∴tanα + $\frac{1}{\tan\alpha}$ = $\frac{1}{\sin\alpha\cos\alpha}$ = -3,(sinα - cosα)² = 1 - 2sinαcosα = 1 + $\frac{2}{3}$ = $\frac{5}{3}$,
∴sinα - cosα = ±$\frac{\sqrt{15}}{3}$

1. 若θ是△ABC的一个内角，且sinθcosθ = −$\frac{1}{8}$,则sinθ - cosθ的值为(　　　)
A. −$\frac{\sqrt{3}}{2}$　　
B. $\frac{\sqrt{3}}{2}$　
C. −$\frac{\sqrt{5}}{2}$　
D. $\frac{\sqrt{5}}{2}$

答案： D

(1)若sinθ - cosθ = $\frac{4}{3}$,且θ∈[$\frac{3}{4}$π,π),则sin(π - θ) - cos(π - θ)等于(　　　)
A. −$\frac{\sqrt{2}}{3}$　　B. $\frac{\sqrt{2}}{3}$　　C. −$\frac{4}{3}$　　D. $\frac{4}{3}$

答案： A

[典例2]　　已知tanθ = 2,则$\frac{sinθ + cosθ}{sinθ}$ + sin²θ的值为(　　　)
A. $\frac{19}{5}$　　 B. $\frac{16}{5}$　　　
C. $\frac{23}{10}$　　D. $\frac{17}{10}$
2. [变设问]本例条件不变，则$\frac{sinθ - cosθ}{sin³θ + 2cosθ}$ = ________.

答案： C@@$\frac{1}{6}$