《2025年新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

1. 为保障高考的公平性，高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪，要求在考点周围1km内不能收到手机信号，检查员抽查某市一考点，在考点正西$\sqrt{3}$km有一条北偏东60°方向的公路，在此处检查员用手机接通电话，以每小时12km的速度沿公路行驶，问:最长需要多少分钟检查员开始收不到信号，并持续至少多长时间该考点才算合格？

答案：
解：如图所示，考点为A，检查开始处为B，设检查员行驶到公路上C，D两点之间时收不到信号，即公路上C，D两点到考点的距离为1km。

在△ABC中，AB = $\sqrt{3}$(km)，AC = 1(km)，∠ABC = 30°，
由正弦定理，得sin∠ACB = $\frac{AB\sin30°}{AC}$ = $\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠ACB = 120°（∠ACB = 60°不合题意），
∴∠BAC = 30°，
∴BC = AC = 1(km)。
在△ACD中，AC = AD = 1，∠ACD = 60°，
∴△ACD为等边三角形，
∴CD = 1(km)。
∵$\frac{BC}{12}$×60 = 5，
∴在BC上需5min，CD上需5min。
∴最长需要5min检查员开始收不到信号，并持续至少5min该考点才算合格。

2. 某省用无人机进行农作物遥感测量试点工作.为了测量两山顶M,N间的距离,无人机沿水平方向在A,B两点进行测量,A,B,M,N在同一个铅垂平面内(如图所示).无人机能够测量的数据有俯角和A,B间的距离.
请设计一个方案，包括:①指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出);②用文字和公式写出计算M,N间的距离的步骤.

答案：
解：（方案一）①需要测量的数据有：A点到M，N点的俯角α₁，β₁；B点到M，N的俯角α₂，β₂；A，B间的距离d。

②第一步：计算AM。由正弦定理
AM = $\frac{d\sin\alpha_2}{\sin(\alpha_1 + \alpha_2)}$。
第二步：计算AN。由正弦定理AN = $\frac{d\sin\beta_2}{\sin(\beta_1 - \beta_2)}$。
第三步：计算MN。由余弦定理
MN = $\sqrt{AM^2 + AN^2 - 2AM\cdot AN\cos(\alpha_1 - \beta_1)}$
（方案二）①需要测量的数据有：A点到M，N点的俯角α₁，β₁；B点到M，N点的俯角α₂，β₂；A，B间的距离d。
②第一步：计算BM。
由正弦定理BM = $\frac{d\sin\alpha_1}{\sin(\alpha_1 + \alpha_2)}$。
第二步：计算BN。由正弦定理BN = $\frac{d\sin\beta_1}{\sin(\beta_1 - \beta_2)}$。
第三步：计算MN。由余弦定理
MN = $\sqrt{BM^2 + BN^2 - 2BM\cdot BN\cos(\pi - \beta_1 - \alpha_1)}$

[典例1]　如图,在平行四边形ABCD中,E,F是对角线AC上的两点,且AE = FC = $\frac{1}{4}$AC.试用向量方法证明四边形DEBF也是平行四边形.

答案： 证明:设AD = a,AB = b,
则AC = a + b,DE = AE - AD = $\frac{1}{4}$AC - a = $\frac{1}{4}$(a + b) - a = $\frac{1}{4}$b - $\frac{3}{4}$a,
FB = AB - AF = b - $\frac{3}{4}$AC = b - $\frac{3}{4}$(a + b) = $\frac{1}{4}$b - $\frac{3}{4}$a,
所以DE = FB,且D,E,F,B四点不共线,
所以四边形DEBF是平行四边形.