《2025年新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

2.已知角α的终边经过点P(12，−5).
　(1)求sinα,cosα,tanα的值;
　　　$\frac{sin(α + \frac{3π}{2})}{sin(π - α) + tan(π - α)cos(π + α)}$的值.

答案： 解:
(1)
∵角α的终边经过点P(12, -5)，
∴sinα = $\frac{-5}{\sqrt{12^{2}+(-5)^{2}}}$ = -$\frac{5}{13}$，
cosα = $\frac{12}{\sqrt{12^{2}+(-5)^{2}}}$ = $\frac{12}{13}$，tanα = -$\frac{5}{12}$。
(2)$\frac{sin(\alpha + \frac{3\pi}{2})}{sin(\pi - \alpha)} + tan(\pi - \alpha)cos(\pi + \alpha)$
= $\frac{-cos\alpha}{sin\alpha}$ + (-tan\alpha)(-cos\alpha)
= $\frac{-\frac{12}{13}}{-\frac{5}{13}}$ + $\frac{5}{12}$×$\frac{12}{13}$ = $\frac{12}{5}$ + $\frac{5}{13}$ = $\frac{181}{65}$。

1. 已知α是第三象限角，且$f(\alpha)=\frac{\sin(\pi - \alpha)\cos(2\pi - \alpha)\tan(-\alpha - \pi)}{\tan(-\alpha + \frac{3\pi}{2})\sin(-\alpha - \pi)}$。
(1) 若$\cos(\alpha - \frac{3\pi}{2}) = \frac{1}{5}$，求$f(\alpha)$；
(2) 若$\alpha = -\frac{32\pi}{3}$，求$f(\alpha)$。

答案： 解：$f(α)=\frac{\sin(π - α)\cos(2π - α)\tan(-α - π)}{\tan(-α + \frac{3π}{2})\sin(-α - π)}$
$=\frac{\sinα\cosα(-\tanα)\frac{1}{\tanα}}{\sinα}=-\cosα$。
(1) 因为$\cos(α - \frac{3π}{2})=\cos(α + \frac{π}{2})=-\sinα=\frac{1}{5}$，
所以$\sinα=-\frac{1}{5}$。
由$α$是第三象限角，可得$\cosα=-\frac{2\sqrt{6}}{5}$，
所以$f(α)=-\cosα=\frac{2\sqrt{6}}{5}$。
(2) 因为$f(α)=-\cosα$，所以$f(-\frac{32π}{3})=-\cos(-\frac{32π}{3})=-\cos\frac{32π}{3}=-\cos(10π + \frac{2π}{3})=-\cos\frac{2π}{3}=-\cos(π - \frac{π}{3})=\cos\frac{π}{3}=\frac{1}{2}$。

2. 重差术是在勾股定理的基础上产生的，结合了相似三角形的比例不变关系。刘徽在《海岛算经》中利用重差法，并结合实际情况，给出了三种应用方法：重表法、累矩法、连索法。对深度的测量用累矩法，并给出公式：谷深$=\frac{勾距\times股差}{上股 }- 勾$。如图，若$AB = CD = 6$，$\tan\angle FAE = \frac{1}{3}$，$\tan\angle ACN = -\frac{1}{2}$，$BD = 13$，则谷深$DE=$________。（股差$=$下股$-$上股）

答案： 20