《2025年新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

2.已知复数$z = 2 + i$，则$z\cdot\overline{z}$等于　　　　(　　　)
A.$\sqrt{3}$　　
　B.$\sqrt{5}$　　
　C.$3$　　
　D.$5$

答案： D

3.已知复数$z$满足$(1 + 3i)z = 10$，则$z=$________。

答案： 1−3i

2.在复平面内，复数$z=\frac{2i}{1 + i}$（$i$为虚数单位）的共轭复数对应的点位于　　　　　　　　　(　　　)
A.第一象限　　　　
B.第二象限
C.第三象限　　　　
D.第四象限

答案： D

1.复数$-i+\frac{1}{i}$等于　　　　　　　　　　　(　　　)
A.$-2i$　
B.$\frac{1}{2}i$　　
C.$0$　　
D.$2i$

答案： A

[微思考]　复数的除法，其实质是分母“实数化”，即把分子和分母同乘一个什么样的数？
______________________________

答案： 提示:进行复数的除法运算时，分子、分母同乘分母的“实数化因式”(共轭复数).

2.复数的除法法则:
设$z_1=a + bi$，$z_2=c + di$（$a,b,c,d\in R$且$c + di\neq0$），则$\frac{z_1}{z_2}=\frac{a + bi}{c + di}=$______________________。

答案： $\frac{ac+bd}{c²+d²}$−$\frac{ad−bc}{c²+d²}$i

1.倒数:
给定复数$z_2$，若存在复数$z$，使得$z_2\cdot z = 1$，则称______是$z_2$的倒数，记作$z=\frac{1}{z_2}$。

答案： x

3.完成下面表格:

答案： 1　i　−1　−i　1

1.$(1 + i)(2 + i)$等于　　　　　　　　　　　(　　　)
A.$1 - i$　
　B.$1 + 3i$　
　C.$3 + i$　
　D.$3 + 3i$

答案： B

4.共轭性质:

答案： 实数

[微思考]　已知$z=x + yi$（$x,y\in R$），则$\vert z\vert^2=x^2$正确吗？
______________________________

答案： 提示:不正确.例如,|i|²=1,而i²=−1.

2.复数乘法的运算律:
对于任意$z_1,z_2,z_3\in C$，有

答案： $z_2•z_1$   $z_1•(z_2•z_3)$   $z_1•z_2+z_1•z_3$

1.复数的乘法法则:
设$z_1=a + bi$，$z_2=c + di$（$a,b,c,d\in R$）是任意两个复数，那么它们的积$(a + bi)(c + di)=$________________.

答案： (ac−bd)+(ad+bc)i