《2025年新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

1.设M是线段BC的中点，点A在线段BC外，|$\overrightarrow{BC}$|² = 16,$|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}| = |\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}|$,则|AM|等于(　　)
A.8　　　B.4　　　C.2　　　　D.1

答案： C

2.如图，解答下列各题:
(1)用a,d,e表示$\overrightarrow{DB}$;
(2)用a,b,e表示$\overrightarrow{EC}$;
(3)用d,c表示$\overrightarrow{EC}$.

答案： 解:由题图知,$\overrightarrow{AB}=\vec{a}$,$\overrightarrow{BC}=\vec{b}$,$\overrightarrow{CD}=\vec{c}$,$\overrightarrow{DE}=\vec{d}$,$\overrightarrow{EA}=\vec{e}$,则
(1)$\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AB}=\vec{d}+\vec{e}+\vec{a}$.
(2)$\overrightarrow{EC}=\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\vec{a}+\vec{b}+\vec{e}$.
(3)$\overrightarrow{EC}=-\overrightarrow{CE}=-(\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DE})=-\vec{c}-\vec{d}$.

1. 如图所示，在矩形ABCD中，
|$\overrightarrow{AD}| $= 4$\sqrt{3}$，|$\overrightarrow{AB}$| = 8. 设$\overrightarrow{AB} = a，\overrightarrow{BC}= b，\overrightarrow{BD}$ = c，求|a - b - c|.

答案： 解:如题图，
∵$a - b =\overrightarrow{ AB} - \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{DB}$，
∴$a - b - c = \overrightarrow{DB} - (-\overrightarrow{BD}) = \overrightarrow{DB }+ \overrightarrow{BD} = 2\overrightarrow{DB}$。
∴$|a - b - c| = 2|\overrightarrow{DB}|$
　= 2$\sqrt{|AD|²+|AB|²}$ = 2$\sqrt{(4\sqrt{3})²+8²}$ = 8$\sqrt{7}$

2. 已知三个非零向量a，b，c满足条件a + b + c = 0，表示它们的有向线段是否一定能构成三角形？如果不一定，那么a，b，c满足什么条件才能构成三角形？

答案： 解:不一定
　①当a,b不共线时，在平面上任取一点A，作$\overrightarrow{AB}= a$，
　再以点B为起点，作$\overrightarrow{BC} = b$，则$\overrightarrow{AC} = a + b$。
∵a + b + c = 0，
∴$c = -(a + b) = -\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{CA}$。
∴当a + b + c = 0时，表示a,b,c的有向线段能构成△ABC。
　②当a,b共线时，即使a + b + c = 0成立，表示a,b,c的有向线段也不能构成三角形。
　综上所述，只有当a,b,c均不共线时，表示它们的有向线段才能构成三角形。