《2025年新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

1. 在复平面内，O 是原点，向量 OA 对应的复数为 2 + i。
(1) 如果点 A 关于实轴的对称点为点 B，求向量 OB 对应的复数；
(2) 如果(1)中的点 B 关于虚轴的对称点为点 C，求点 C 对应的复数。

答案： 解：
(1)设向量$\overrightarrow{OB}$对应的复数为$z_1 = x_1 + y_1i(x_1,y_1\in R)$，则点$B$的坐标为$(x_1,y_1)$。由题意可知，点$A$的坐标为$(2,1)$。根据对称性可知，$x_1 = 2$，$y_1 = -1$，故$z_1 = 2 - i$。
(2)设点$C$对应的复数为$z_2 = x_2 + y_2i(x_2,y_2\in R)$，则点$C$的坐标为$(x_2,y_2)$。由对称性可知，$x_2 = -2$，$y_2 = -1$，故$z_2 = -2 - i$。

2. 在复平面内，A，B，C 三点对应的复数分别为 1，2 + i，−1 + 2i。试判断△ABC 的形状。

答案： 解：由复数的几何意义知，$\overrightarrow{OA}=(1,0)$，$\overrightarrow{OB}=(2,1)$，$\overrightarrow{OC}=(-1,2)$，所以$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=(1,1)$，$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}=(-2,2)$，$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}=(-3,1)$，所以$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{BC}$对应的复数分别为$1 + i$，$-2 + 2i$，$-3 + i$。因为$|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{2}$，$|\overrightarrow{AC}| = 2\sqrt{2}$，$|\overrightarrow{BC}|=\sqrt{10}$，所以$|\overrightarrow{AB}|^2+|\overrightarrow{AC}|^2=|\overrightarrow{BC}|^2$，所以$\triangle ABC$是以$BC$边为斜边的直角三角形。

3. 设全集 U = C，A = {z |||z| - 1| = 1 - |z|，z ∈ C}，B = {z ||z| ＜ 1，z ∈ C}，若 z ∈ A ∩ (∁UB)，则复数 z 在复平面内对应的点组成的集合是什么图形？

答案： 解：因为$z\in C$，所以$|z|\in R$，所以$1 - |z|\in R$。由$||z| - 1| = 1 - |z|$得$1 - |z|\geq0$，即$|z|\leq1$，所以$A = \{z||z|\leq1\}$。因为$B = \{z||z|\lt1,z\in C\}$，所以$\complement_{C}B = \{z||z|\geq1,z\in C\}$。因为$A\cap(\complement_{C}B)$等价于$z\in A$，且$z\notin B$，所以$|z|\leq1$且$|z|\geq1$，即$|z| = 1$。由复数模的几何意义知，复数在复平面内对应的点组成的集合是以原点$O$为圆心，$1$为半径的圆。