《2025年新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

[典例 1]　已知函数$y = f(x)$的图象上的每一点的纵坐标扩大到原来的 4 倍，横坐标扩大到原来的 2 倍，然后把所得的图象沿$x$轴向左平移$\frac{\pi}{2}$个单位长度，这样得到的曲线和$y = 2\sin x$的图象相同，则函数$y = f(x)$的解析式为________。

答案： f(x)=−$\frac{1}{2}$cos2x

将$y = \sin x$的图象怎样变换可得到函数$y = 2\sin(2x + \frac{\pi}{4}) + 1$的图象？

答案： 解:(法一)先伸缩后平移
①把y=sinx的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),得到y=2sinx的图象;
②将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的$\frac{1}{2}$(纵坐标不变),得y=2sin2x的图象;
③将所得图象沿x轴向左平移$\frac{π}{8}$个单位长度，得y=2sin[2(x+$\frac{π}{8}$)]的图象;
④将所得图象沿y轴向上平移1个单位长度，得y=2sin(2x+$\frac{π}{4}$)+1的图象.
(法二)先平移后伸缩
①将y=sinx的图象沿x轴向左平移$\frac{π}{4}$个单位长度，得y=sin(x+$\frac{π}{4}$)的图象;
②将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的$\frac{1}{2}$(纵坐标不变),得y=sin(2x+$\frac{π}{4}$)的图象;
③把所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到y=2sin(2x+$\frac{π}{4}$)的图象;
④将所得图象沿y轴向上平移1个单位长度，得y=2sin(2x+$\frac{π}{4}$)+1的图象.

[典例 2]　用“五点(画图)法”作出函数$y = 2\sin(2x + \frac{\pi}{3})$的图象，并讨论其基本性质。
[变条件]把典例中“$y = 2\sin(2x + \frac{\pi}{3})$”中的“$\frac{\pi}{3}$”换成“$-\frac{\pi}{3}$”结果如何？

答案：
解:列表如下:

描点.
连线，用光滑的曲线顺次连接各点，所得图象(如图所示)为该函数在一个周期内的图象，然后将图象左右平移(每次π个单位长度)即可得到该函数在定义域R内的图象.

易知最小正周期T=π,当x=$\frac{π}{12}$+kπ,k∈Z时,取最大值为2,当x=−$\frac{5π}{12}$+kπ,k∈Z时,取最小值为−2.可见在一个周期内，函数在[$\frac{π}{12}$,$\frac{7π}{12}$]上单调递减.
又因为函数的周期为π，所以函数的单调递减区间为[kπ+$\frac{π}{12}$,kπ+$\frac{7π}{12}$](k∈Z).同理,单调递增区间为[kπ−$\frac{5π}{12}$,kπ+$\frac{π}{12}$](k∈Z).
@@

解:列表补充如下:

描点、连线可得函数f(x)的图象如图所示:

易知最小正周期T=π,当x=$\frac{5π}{12}$+kπ(k∈Z)时,取得最大值2,当x=−$\frac{π}{12}$+kπ(k∈Z)时,取得最小值−2.

由−$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x−$\frac{π}{3}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ(k∈Z),可得−$\frac{π}{12}$+kπ≤x≤$\frac{5π}{12}$+kπ(k∈Z),故函数f(x)的单调递增区间为[−$\frac{π}{12}$+kπ,$\frac{5π}{12}$+kπ](k∈Z).同理,单调递减区间为[$\frac{5π}{12}$+kπ,$\frac{11π}{12}$+kπ](k∈Z).