《2025年新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

(1)已知角α的顶点与平面直角坐标系的原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边经过点P(2,2$\sqrt{3}$),则sinα的值是　　　(　　　)
A.$\frac{1}{2}$　　　B.$\frac{\sqrt{3}}{3}$　　　C.$\sqrt{3}$　　　D.$\frac{\sqrt{3}}{2}$　　

答案：
(1)D

1.已知角α的终边经过点P(2,−1),则sinα等于　　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)
A.$\frac{\sqrt{5}}{5}$　　　　　　　　　　B.−$\frac{\sqrt{5}}{5}$
C.$\frac{2\sqrt{5}}{5}$　　　　　　　　　D.−$\frac{2\sqrt{5}}{5}$

答案： B

(2)已知角α的终边在直线$\sqrt{3}$x + y = 0上,求sinα,cosα的值.
2.[变条件]若本例(2)中的条件变为“已知角α的终边在直线y = 2x上”,则sinα = ________,cosα = ________.

答案：

(2)解:直线$\sqrt{3}x + y = 0$，即$y = -\sqrt{3}x$经过第二、四象限。

在第二象限取直线上的点$(-1,\sqrt{3})$，则$r = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2}=2$，所以$\sin\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\cos\alpha=-\frac{1}{2}$；

在第四象限取直线上的点$(1,-\sqrt{3})$，则$r = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2}=2$，所以$\sin\alpha=-\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\cos\alpha=\frac{1}{2}$。@@$\pm\frac{2\sqrt{5}}{5}$，$\pm\frac{\sqrt{5}}{5}$

[典例3]　已知点P(x,y)为角α终边上一点.
　　(1)若角α是第二象限角,y = $\sqrt{5}$,cosα = −$\frac{\sqrt{2}}{4}$,求x的值;
　　(2)若x = y,求sinα + 2cosα的值.

答案： 解:
(1)因为$\cos\alpha=\frac{x}{\sqrt{x^2 + 5}}=-\frac{2}{\sqrt{4 + 5}}$，所以解得$x=\frac{\sqrt{35}}{7}$（$\alpha$是第二象限角，舍去），$x=-\frac{\sqrt{35}}{7}$。
(2)若$x = y$，则$\sin\alpha=\cos\alpha$，故$\sin\alpha + 2\cos\alpha = 3\cos\alpha = 3\times\frac{x}{\sqrt{2x^2}}=\pm\frac{3}{\sqrt{2}}=\pm\frac{3\sqrt{2}}{2}$。

1.已知α是第二象限角,其终边与单位圆的交点为P(m,$\frac{12}{13}$),则cosα等于　　　　　　(　　　)
A.−$\frac{5}{13}$　　　　　　　　　B.$\frac{5}{13}$
C.$\frac{12}{13}$　　　　　　　　　　D.−$\frac{12}{13}$

答案： A

2.已知角α的终边经过点P(−4m,3m)(m≠0)，则2sinα + cosα的值是　　　　　　　(　　　)
A.1或−1　　　　　　　B.$\frac{2}{5}$或−$\frac{2}{5}$
C.1或−$\frac{2}{5}$　　　　　　　D.−1或$\frac{2}{5}$

答案： B