《2025年新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

[典例2]　求下列函数的最小正周期.
　　(1)f(x)=sin$\frac{2}{3}$x;
　　(2)f(x)=cos($\frac{π}{2}$−$\frac{3}{4}$x);
　　(3)f(x)=sin(−$\frac{4π}{3}$x).

答案： 解:
(1)T = $\frac{2π}{2}$ = π.
(2)由 φ(x) = cos($\frac{π}{2}$ - $\frac{3}{4}$x) = sin$\frac{3}{4}$x，T = $\frac{2π}{\frac{3}{4}}$，得最小正周期为 T = $\frac{2π}{\frac{3}{4}}$ = $\frac{8π}{3}$.
(3)φ(x) = -sin($\frac{4π}{3}$x)，T = $\frac{2π}{\frac{4π}{3}}$ = $\frac{3}{2}$.

已知函数f(x)=sin(ωx - $\frac{π}{6}$)(ω＞0)的最小正周期为π，则f($\frac{5π}{4}$)等于　　　　　　(　　　)　
A.1　　
B.$\frac{1}{2}$　　
C.0　　
D.$\frac{\sqrt{3}}{2}$

答案： D

(1)求函数y = sin$\frac{1}{2}$x的单调区间;

答案：
(1)由 y = sinx 的单调递增区间为 [-$\frac{π}{2}$ + 2kπ, $\frac{π}{2}$ + 2kπ]，k ∈ Z，令 -$\frac{π}{2}$ + 2kπ ≤ $\frac{1}{2}$x ≤ $\frac{π}{2}$ + 2kπ，k ∈ Z，得 -π + 4kπ ≤ x ≤ π + 4kπ，k ∈ Z.
由 y = sinx 的单调递减区间为 [$\frac{π}{2}$ + 2kπ, $\frac{3π}{2}$ + 2kπ]，k ∈ Z，令 $\frac{π}{2}$ + 2kπ ≤ $\frac{1}{2}$x ≤ $\frac{3π}{2}$ + 2kπ，k ∈ Z，得 π + 4kπ ≤ x ≤ 3π + 4kπ，k ∈ Z.
故 y = sin$\frac{1}{2}$x 的单调递增区间为 [-π + 4kπ, π + 4kπ]，k ∈ Z，y = sin$\frac{1}{2}$x 的单调递减区间为 [π + 4kπ, 3π + 4kπ]，k ∈ Z.

(2)求使函数y = sin$\frac{2}{3}$x，x∈R取得最大值的自变量x的集合.　　

答案：
(2)令 $\frac{2}{3}$x = $\frac{π}{2}$ + 2kπ，k ∈ Z，得 x = $\frac{3π}{4}$ + 3kπ，k ∈ Z.
故当 x ∈ {x|x = $\frac{3π}{4}$ + 3kπ，k ∈ Z} 时，y = sin$\frac{2}{3}$x 取得最大值.

(多选)已知函数f(x)=sin$\frac{2\pi}{3}$x，x∈R，则下列关于f(x)的叙述正确的是　　　　　(　　　)　
A.是奇函数　
B.最小值为−1　
C.单调递增区间为[−$\frac{3}{4}$ + 3k，$\frac{3}{4}$ + 3k]，k∈Z
D.最小正周期为3π

答案： ABC