《2025年新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

[典例3]　如图所示，D,E分别是△ABC的边AB,AC的中点， M,N分别是DE,BC的中点，已知BC = a,BD = b.

(1)试用a,b分别表示DE,CE,MN;
(2)通过(1)的运算结果说明向量DE与向量CE + MN的关系.

答案： 解:
(1)由三角形中位线定理，知DE$\frac{1}{2}$BC,
　故DE=$\frac{1}{2}$BC,即DE=$\frac{1}{2}$a.　
CE=CB+BD+DE=−a+b+$\frac{1}{2}$a=−$\frac{1}{2}$a+b.
　MN=MD+DB+BN=$\frac{1}{2}$ED+DB+$\frac{1}{2}$BC=−$\frac{1}{4}$a−b+$\frac{1}{2}$a=$\frac{1}{4}$a−b.
(2)由
(1)知DE=$\frac{1}{2}$a,
CE+MN=−$\frac{1}{2}$a+b+$\frac{1}{4}$a−b=−$\frac{1}{4}$a,
　所以DE=−2(CE+MN),即向量DE与向量CE+MN共线且方向相反，向量DE的长度是向量CE+MN长度的2倍.

1. 如图，在▱ABCD中，E是BC的中点，若AB = a,AD = b,则DE等于 (　　)

A. $\frac{1}{2}$a - b　　　　　　　
B. $\frac{1}{2}$a + b
C. a + $\frac{1}{2}$b　　　　　　　
D. a - $\frac{1}{2}$b

答案： D

2. 如图，在△ABC中，向量AB = 3AD,且CB = λCA + μCD(λ,μ∈R),则λ + μ = ________.

答案： 1