《2025年新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

[典例1]　如图,已知向量a,b,c不共线，求作向量a + b - c.

1.[变设问]若本例条件不变,求作向量a - b - c.

答案：
解:(法一)如图①,在平面内任取一点O,作$\overrightarrow{OA}=\vec{a}$,$\overrightarrow{AB}=\vec{b}$,则$\overrightarrow{OB}=\vec{a}+\vec{b}$,再作$\overrightarrow{OC}=\vec{c}$,则$\overrightarrow{CB}=\vec{a}+\vec{b}-\vec{c}$.
(法二)如图②,在平面内任取一点O,作$\overrightarrow{OA}=\vec{a}$,$\overrightarrow{AB}=\vec{b}$,则$\overrightarrow{OB}=\vec{a}+\vec{b}$,再作$\overrightarrow{CB}=\vec{c}$,连接OC,则$\overrightarrow{OC}=\vec{a}+\vec{b}-\vec{c}$.

@@1.解:如图,在平面内任取一点O,作$\overrightarrow{OA}=\vec{a}$,$\overrightarrow{OB}=\vec{b}$,则$\overrightarrow{BA}=\vec{a}-\vec{b}$.再作$\overrightarrow{CA}=\vec{c}$,则$\overrightarrow{BC}=\vec{a}-\vec{b}-\vec{c}$.

2.如图所示，O为△ABC内一点，$\overrightarrow{OA} = a,\overrightarrow{OB} = b,\overrightarrow{OC}= c$.求作向量b + c - a.

答案：
解:如图，以$\overrightarrow{OB}$,$\overrightarrow{OC}$为邻边作▱OBDC,连接$\overrightarrow{OD}$,$\overrightarrow{AD}$,则$\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\vec{b}+\vec{c}$,

$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OA}=\vec{b}+\vec{c}-\vec{a}$.

[典例2]　化简:
(1)$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}$ = ________;
(2)$\overrightarrow{AB}+(\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{CA})+\overrightarrow{DC}$= ________;
(3)$\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OC}\overrightarrow{CO}$ = ________.

答案：
(1)0　
(2)0　
(3)$\overrightarrow{AB}$

化简下列各式:
(1)$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{DB}$;
(2)$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{AD}$;
(3)$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{DB}$.

答案： 解:
(1)$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{CD}$.
(2)$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{DC}$.
(3)$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AC}$.

[典例3]　如图,已知向量$\overrightarrow{AD} = a,\overrightarrow{AB} = b$,满足|a| = 2,|b| = 2,且∠BAD = 60°,求|a - b|,|a + b|.

答案： 解:由向量减法的三角形法则可知$\overrightarrow{BD}=\vec{a}-\vec{b}$,$\overrightarrow{AC}=\vec{a}+\vec{b}$,在△ABD中,因为∠BAD = 60°,AD = 2,AB = 2,所以△ABD为等边三角形,四边形ABCD是菱形，则BD = 2,即$|\vec{a}-\vec{b}| = 2$,$AC = 2\sqrt{3}$,即$|\vec{a}+\vec{b}| = 2\sqrt{3}$