《2025年新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

1. 在平面直角坐标系中，集合$S = \{α|α = \frac{2kπ}{3}, k∈Z\}$的元素所表示的角的终边在哪些位置?

答案： 解:当k = 3n, n∈Z时,α = $\frac{2π\cdot3n}{3}$ = 2nπ, n∈Z,此时角α的终边在x轴正半轴上;
当k = 3n + 1, n∈Z时,α = $\frac{2π\cdot(3n + 1)}{3}$ = 2nπ + $\frac{2π}{3}$, n∈Z,此时角α的终边与角$\frac{2π}{3}$的终边相同;
当k = 3n + 2, n∈Z时,α = $\frac{2π\cdot(3n + 2)}{3}$ = 2nπ + $\frac{4π}{3}$, n∈Z,此时角α的终边与角$\frac{4π}{3}$的终边相同。

2. 《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表。其中“方田”章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积$ = \frac{1}{2}$（弦×矢 + 矢$^2$）。弧田由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差。按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差。
现有圆心角为$\frac{2π}{3}$，弦长等于$2\sqrt{3}$米的弧田，如图。

(1) 计算弧田的实际面积；
(2) 按照《九章算术》中弧田面积的经验公式计算所得结果与(1)中计算的弧田实际面积相差多少平方米？（取$π$近似值为$3$，$\sqrt{3}$近似值为$1.7$）
[析题建模

答案： 解:
(1)
∵扇形半径r = 2,
∴扇形面积S扇 = $\frac{1}{2}$×$\frac{2π}{3}$×2² = $\frac{4π}{3}$。
又三角形面积S△ = $\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$×1 = $\sqrt{3}$,
∴弧田面积S = S扇 - S△ = $\frac{4π}{3}$ - $\sqrt{3}$。
(2)
∵圆心到弦的距离等于1,
∴矢长为1。
按照题中弧田面积经验公式计算，得
$\frac{1}{2}$(弦×矢 + 矢²) = $\frac{1}{2}$×(2$\sqrt{3}$×1 + 1²) = $\sqrt{3}$ + $\frac{1}{2}$。
∴两者差为$\frac{4π}{3}$ - $\sqrt{3}$ - ($\sqrt{3}$ + $\frac{1}{2}$) ≈ 0.1,故按照弧田面积经验公式计算结果比实际少0.1平方米。