《2025年新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

1.平面向量基本定理:
　如果$\vec{e_1}$和$\vec{e_2}$是同一平面内两个__________的向量,那么对该平面内任意一个向量$\vec{a}$,存在________的一对实数$\lambda_1$,$\lambda_2$,使$\vec{a}=$__________.
2.相关概念:
(1)基:我们把不共线的向量$\vec{e_1}$和$\vec{e_2}$叫作表示这一平面向量的一组____________________记为________.
(2)正交基:若基中的两个向量______________,则称这组基为正交基.
(3)正交分解:在________下向量的线性表示称为正交分解.
(4)标准正交基:若基中的两个向量是__________的单位向量,则称这组基为标准正交基.
[微思考]　定理中的“不共线”是否可以去掉？平面内的任一向量都能用$\{\vec{e_1},\vec{e_2}\}$唯一表示吗?
　　______________________________

答案： 不共线，唯一，λ₁$\vec{e_1}$ + λ₂$\vec{e_2}$
@@
(1)基，{$\vec{e_1}$,$\vec{e_2}$}
(2)互相垂直
(3)正交基
(4)互相垂直[微思考]提示:不能去掉，两个共线向量不能表示平面内的任一向量，不能作为一组基。平面内任一向量都能用两个确定的不共线的$\vec{e_1}$,$\vec{e_2}$表示，且这样的表示是唯一的。

1.判断正误:
　　(1)平面内任意两个向量都可以作为平面内所有向量的一组基.　　　　　　　　　　　(　　　)
　　(2)零向量可以作为基中的一个向量.　(　　　)
　　(3)若$\vec{e_1}$,$\vec{e_2}$是同一平面内两个不共线向量,则$\lambda_1\vec{e_1}+\lambda_2\vec{e_2}$($\lambda_1$,$\lambda_2$为实数)可以表示该平面内所有向量.　　　　　　　　　　　　　　(　　　)

答案：
(1)×
(2)×
(3)√

2.若$\{\vec{e_1},\vec{e_2}\}$是平面内的一组基,则下列四个选项中能作为平面向量的一组基的是　　　(　　　)
A.$\{\vec{e_1}-\vec{e_2},\vec{e_2}-\vec{e_1}\}$　　　B.$\{2\vec{e_1}-\vec{e_2},\vec{e_1}-\frac{1}{2}\vec{e_2}\}$
C.$\{2\vec{e_2}-3\vec{e_1},6\vec{e_1}-4\vec{e_2}\}$D.$\{\vec{e_1}+\vec{e_2},\vec{e_1}-\vec{e_2}\}$

答案： D

3.如图所示,向量$\overrightarrow{OA}$可用基$\{\vec{e_1},\vec{e_2}\}$表示为________.
　　　　　　　　

答案： 4$\vec{e_1}$ + 3$\vec{e_2}$

4.若向量$\vec{e_1}$,$\vec{e_2}$不共线,实数$x$,$y$满足$(3x - 4y)\vec{e_1}+(2x - 3y)\vec{e_2}=6\vec{e_1}+3\vec{e_2}$,则$x - y$的值为________.

答案： 3