《2025年新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

函数y = tanx的图象和性质:

答案： {x|x∈R且x≠kπ+$\frac{π}{2}$,k∈Z}，R，kπ(k∈Z)，π，奇函数，(−$\frac{π}{2}$+kπ,$\frac{π}{2}$+kπ)(k∈Z)

[微思考]
(1)正切函数在定义域上具有单调性吗？是周期函数吗？
______________________________
(2)画正切曲线的关键点和关键线分别是什么？
______________________________

答案： [微思考]
(1)提示:正切函数在定义域上不具有单调性，是周期函数.
(2)提示:三点两线法.“三点”是指(-$\frac{π}{4}$,-1),(0,0),($\frac{π}{4}$,1)，“两线”是指x=-$\frac{π}{2}$和x=$\frac{π}{2}$，大致画出正切函数在(-$\frac{π}{2}$,$\frac{π}{2}$)上的简图后向左、向右扩展即得正切曲线.

1. 判断正误:
(1)正切函数的值域是R.　　　　　　(　　　)
(2)正切函数图象是中心对称图形，有无数个对称中心.　　　　　　　　　　　　　(　　　)
(3)正切函数图象有无数条对称轴,其对称轴是x = kπ ± $\frac{π}{2}$, k∈Z.　　　　　　　　　(　　　)

答案：
(1)√
(2)√
(3)×

2. y = tanx　　　　　　　　　　　　　　(　　　)
A. 在整个定义域上为增函数
B. 在整个定义域上为减函数
C. 在每一个开区间(−$\frac{π}{2}$ + kπ, $\frac{π}{2}$ + kπ)(k∈Z)上单调递增
D. 在每一个闭区间[−$\frac{π}{2}$ + kπ, $\frac{π}{2}$ + kπ](k∈Z)上单调递增

答案： C

3. y = tan(2x − $\frac{π}{4}$)的定义域为________.

答案： {x|x≠$\frac{kπ}{2}$+$\frac{3}{8}$π,k∈Z}

4. 函数y = tan(π − αx), x∈(−$\frac{π}{4}$, $\frac{π}{3}$)的值域为________.

答案： ($\sqrt{3}$,1)

[典例1]　求下列函数的定义域和值域:
(1)f(x)=tan(x - $\frac{π}{4}$);
(2)f(x)= $\sqrt{3 - tanx}$

答案： 解:
(1)依题意，得x - $\frac{π}{4}$ ≠ $\frac{π}{2}$ + kπ，k ∈ Z。
所以x ≠ $\frac{3π}{4}$ + kπ，k ∈ Z。
所以函数f(x)的定义域是{x|x ≠ kπ + $\frac{3π}{4}$，k ∈ Z}。
由正切函数的值域可知该函数的值域是(-∞，+∞)。
(2)依题意$\sqrt{3}$ - tanx ≥ 0，所以tanx ≤ $\sqrt{3}$。
结合y = tanx的图象可知，在(-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$)上，
满足tanx ≤ $\sqrt{3}$的角x应满足 - $\frac{π}{2}$ ＜ x ≤ $\frac{π}{3}$。
所以函数f(x) = $\sqrt{\sqrt{3} - tanx}$的定义域为
{x|kπ - $\frac{π}{2}$ ＜ x ≤ kπ + $\frac{π}{3}$，k ∈ Z}，其值域为[0，+∞)。