《2025年新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

1. 化简: $\cos(\frac{4n + 1}{4}\pi + x) + \cos(\frac{4n - 1}{4}\pi - x)(n\in Z)$.
解: 原式$=\cos(n\pi + \frac{\pi}{4} + x) + \cos(n\pi - \frac{\pi}{4} - x)$
当$n$为偶数时，原式$=\cos(\frac{\pi}{4} + x) + \cos(-(\frac{\pi}{4} + x)) = 2\cos(\frac{\pi}{4} + x)$；当$n$为奇数时，原式$=-\cos(\frac{\pi}{4} + x) - \cos(\frac{\pi}{4} + x)=-2\cos(\frac{\pi}{4} + x)$。
观察以上化简过程，判断是否正确。若不正确，找出错误的原因。

答案： 提示：错误。原因是没有对 n 进行分类讨论，cos(kπ + α)(k∈Z) = cosα 不一定成立，关键是对诱导公式理解不透彻。
正解如下：
原式 = cos(nπ + $\frac{π}{4}$ + x) + cos(nπ - $\frac{π}{4}$ - x)。
① 当 n 为奇数，即 n = 2k + 1(k∈Z) 时，
原式 = cos[(2k + 1)π + $\frac{π}{4}$ + x] + cos[(2k + 1)π - $\frac{π}{4}$ - x]
= -cos($\frac{π}{4}$ + x) - cos(-$\frac{π}{4}$ - x) = -2cos($\frac{π}{4}$ + x)；
② 当 n 为偶数，即 n = 2k(k∈Z) 时，
原式 = cos(2kπ + $\frac{π}{4}$ + x) + cos(2kπ - $\frac{π}{4}$ - x)
= cos($\frac{π}{4}$ + x) + cos(-$\frac{π}{4}$ - x) = 2cos($\frac{π}{4}$ + x)。
故原式 = $\begin{cases}-2\cos(\frac{π}{4} + x),n为奇数\\2\cos(\frac{π}{4} + x),n为偶数\end{cases}$

2. 对于任意角$\alpha$有$\sin(n\pi + \alpha) = (-1)^n\sin\alpha(n\in Z)$，具体推导过程如下:
当$n = 2k(k\in Z)$时，由诱导公式有$\sin(n\pi + \alpha)=\sin(2k\pi + \alpha)=\sin\alpha = (-1)^{2k}\sin\alpha(k\in Z)$；
当$n = 2k + 1(k\in Z)$时，由诱导公式有$\sin(n\pi + \alpha)=\sin(2k\pi + \pi + \alpha)=-\sin\alpha = (-1)^{2k + 1}\sin\alpha(k\in Z)$。
综上，对任意角$\alpha$有$\sin(n\pi + \alpha) = (-1)^n\sin\alpha(n\in Z)$。
根据以上推导过程你能推导下列各式的结果吗？
(1) $\cos(n\pi + \alpha) =$____________;
(2) $\sin(n\pi - \alpha) =$____________;
(3) $\cos(n\pi - \alpha) =$____________.

答案：
(1) (-1)ⁿcosα(n∈Z)
(2) (-1)ⁿ⁻¹sinα(n∈Z)
(3) (-1)ⁿcosα(n∈Z)

1.诱导公式与旋转:
　(1)sin(α + $\frac{π}{2}$)=______,cos(α + $\frac{π}{2}$)=______.
　(2)sin(α - $\frac{π}{2}$)= - cosα,cos(α - $\frac{π}{2}$)=sinα.

答案： cosα - sinα

2.诱导公式:

答案： $\sin\alpha$ $\cos\alpha$ $-\sin\alpha$ $\cos\alpha$ $-\sin\alpha$ $\cos\alpha$ $\sin\alpha$ $-\cos\alpha$ $-\sin\alpha$ $-\cos\alpha$ $\cos\alpha$ $-\sin\alpha$ $\cos\alpha$ $\sin\alpha$

[微思考]　在△ABC中,角$\frac{A}{2}$与角$\frac{B + C}{2}$的三角函数值满足哪些等量关系？
　　______________________________

答案： 提示:
∵A + B + C = π,
∴$\frac{A}{2}$ = $\frac{π}{2}$ - $\frac{B + C}{2}$.
∴sin$\frac{A}{2}$ = sin($\frac{π}{2}$ - $\frac{B + C}{2}$) = cos$\frac{B + C}{2}$, cos$\frac{A}{2}$ = cos($\frac{π}{2}$ - $\frac{B + C}{2}$) = sin$\frac{B + C}{2}$.

1.判断正误:
　(1)诱导公式与旋转中的角α只能是锐角.(　　　)
　(2)sin(90° + α)= - cosα.　　　　　　(　　　)
　(3)cos(270° + 30°)=sin30°.　　　　　(　　　)

答案：
(1)×
(2)×
(3)√

2.sin95° + cos175°的值为　　　　　　　(　　　)　
A.sin5°　　　　　　　B.cos5°
C.0　　　　　　　　　D.2sin5°

答案： C