《2025年新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

同角三角函数的两个基本关系式:

[微思考]　两个基本关系的变形形式有哪些？试列举.
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答案： 1 $\tan\alpha$
[微思考]
提示:
(1)平方关系sin²α + cos²α = 1的变形
①1 - sin²α = cos²α;②1 - cos²α = sin²α;
③1 = sin²α + cos²α;
④(sinα + cosα)² = 1 + 2sinαcosα;
⑤(sinα - cosα)² = 1 - 2sinαcosα.
(2)商数关系$\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ = tanα(α ≠ kπ + $\frac{π}{2}$, k ∈ Z)的变形
①sinα = cosαtanα;②cosα = $\frac{\sin\alpha}{\tan\alpha}$.

1. 判断正误:
(1) sin²α + cos²β = 1.　　　　　　　　　(　　　)
(2) tanα = $\frac{sinα}{cosα}$.　对任意角α都成立.　　(　　　)
(3) tanα = $\frac{cosα}{sinα}$ (α ≠ kπ, k ∈ Z).　　　　(　　　)
(4) sinα = $\sqrt{1 - cos²α}$　　　　　　　　　(　　　)

答案：
(1)×　
(2)×　
(3)×　
(4)×

2. sin²2020° + cos²2020°等于　　　　　　(　　　)
A. 0　　　B. 1　　　C. 2019　　　D. 2019°

答案： B

3. 已知α ∈ (0, $\frac{π}{2}$), sinα = $\frac{3}{5}$, 则cosα等于(　　　)
A. $\frac{4}{5}$　　　B. -$\frac{4}{5}$　　C. -$\frac{1}{7}$　　　　D. $\frac{3}{5}$

答案： A

4. 已知3sinα + cosα = 0, 则tanα = ________.

答案：  - $\frac{1}{3}$

[典例1](1)已知sinα=$\frac{5}{13}$,求cosα,tanα的值.
(2)已知α∈(π,$\frac{3π}{2}$),且tanα=3,求sinα,cosα的值.

答案：
(1)因为sinα=$\frac{5}{13}$＞0,且sinα≠1,所以α是第一或第二象限角。当α是第一象限角时，cosα＞0,cosα = $\sqrt{1 - (\sin\alpha)^2}$ = $\sqrt{1 - (\frac{5}{13})^2}$ = $\frac{12}{13}$,tanα = $\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ = $\frac{5}{13}$ × $\frac{13}{12}$ = $\frac{5}{12}$。当α是第二象限角时，cosα＜0,cosα = -$\sqrt{1 - (\sin\alpha)^2}$ = -$\frac{12}{13}$,tanα = $\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ = -$\frac{5}{12}$。
(2)依题意，得$\begin{cases}\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=3\\\sin^{2}\alpha + \cos^{2}\alpha = 1\end{cases}$，解得$\cos^{2}\alpha = \frac{1}{10}$。因为α∈(π,$\frac{3\pi}{2}$)，所以cosα = -$\frac{\sqrt{10}}{10}$，sinα = -$\frac{3\sqrt{10}}{10}$。