《2025年新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

2. (2024·新课标II卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知sinA + $\sqrt{3}$cosA = 2.
(1)求A;
(2)若a = 2，$\sqrt{2}$bsinC = csin2B，求△ABC的周长.

答案： 解:
(1)由sinA+ $\sqrt{3}$cosA=2,可得$\frac{1}{2}$sinA+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosA=1,即sin(A+$\frac{π}{3}$)=1.由于A∈(0,π),则A+$\frac{π}{3}$∈($\frac{π}{3}$,$\frac{4π}{3}$),故A+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$,解得A=$\frac{π}{6}$
(2)由题设条件和正弦定理，得$\sqrt{2}$bsinC=csin2B，即$\sqrt{2}$sinBsinC=2sinCsinBcosB,又B,C∈(0,π),所以sinBsinC≠0,所以cosB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,得B=$\frac{π}{4}$,于是C=π−A−B=$\frac{7π}{12}$,sinC=sin(π−A−B)=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA=$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$由正弦定理$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$,得$\frac{2}{sin\frac{π}{6}}$=$\frac{b}{sin\frac{π}{4}}$=$\frac{c}{sin\frac{7π}{12}}$,解得b=2$\sqrt{2}$,c=$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$,故△ABC的周长为2+ $\sqrt{6}$+3$\sqrt{2}$

1. 在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c。已知2bsinA - $\sqrt{3}$a = 0。
(1) 求角B的大小；
(2) 求cosA + cosB + cosC的取值范围。

答案： 解:
(1)由正弦定理，得2sinBsinA=$\sqrt{3}$sinA,
　又sinA≠0,所以sinB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,
　因为△ABC为锐角三角形,所以B=$\frac{π}{3}$.
(2)由A+B+C=π得C=$\frac{2π}{3}$−A,
　由△ABC是锐角三角形得A∈($\frac{π}{6}$,$\frac{π}{2}$).
　由cosC=cos($\frac{2π}{3}$−A)=−$\frac{1}{2}$cosA+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinA,
　得cosA+cosB+cosC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinA+$\frac{1}{2}$cosA+$\frac{1}{2}$
　=sin(A+$\frac{π}{6}$)+$\frac{1}{2}$∈($\frac{\sqrt{3}+1}{2}$,$\frac{3}{2}$).
　故cosA+cosB+cosC的取值范围是($\frac{\sqrt{3}+1}{2}$,$\frac{3}{2}$).

2. 某实验室一天的温度(单位:℃)随时间t(单位:h)的变化近似满足函数关系:
f(t) = 10 - $\sqrt{3}$cos$\frac{π}{12}$t - sin$\frac{π}{12}$t，t∈[0, 24)。
(1) 求实验室这一天的温差；
(2) 若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？
[析题建模]

答案： 解:
(1)因为f(t)=10−2($\frac{\sqrt{3}}{2}$cos$\frac{π}{12}$t+$\frac{1}{2}$sin$\frac{π}{12}$t)
　=10−2sin($\frac{π}{12}$t+$\frac{π}{3}$),又0≤t＜24,
　所以$\frac{π}{3}$≤$\frac{π}{12}$t+$\frac{π}{3}$＜$\frac{7π}{3}$,−1≤sin($\frac{π}{12}$t+$\frac{π}{3}$)≤1.
　当t=2时,sin($\frac{π}{12}$t+$\frac{π}{3}$)=1;
　当t=14时,sin($\frac{π}{12}$t+$\frac{π}{3}$)=−1.
　于是f(t)在[0,24)上取得最大值12,取得最小值8.故实验室这一天最高温度为12℃,最低温度为8℃,温差为4℃.
(2)依题意，当f(t)＞11时实验室需要降温.
　由
(1)得f(t)=10−2sin($\frac{π}{12}$t+$\frac{π}{3}$),
　所以10−2sin($\frac{π}{12}$t+$\frac{π}{3}$)＞11,
　即sin($\frac{π}{12}$t+$\frac{π}{3}$)＜−$\frac{1}{2}$,又0≤t＜24,
　因此$\frac{7π}{6}$＜$\frac{π}{12}$t+$\frac{π}{3}$＜$\frac{11π}{6}$,即10＜t＜18,
　故在10时至18时实验室需要降温.