《2025年新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

2. 在复平面内，点A，B，C对应的复数分别为1 + 4i， - 3i，2，O为复平面的坐标原点。
(1)求向量$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{AC}$对应的复数；
(2)求平行四边形ABCD的顶点D对应的复数。

答案： 解:
(1)由复数的几何意义,得$\overrightarrow{OA}=(1,4)$,$\overrightarrow{OB}=(0,−3)$,$\overrightarrow{OC}=(2,0)$,所以$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=(1,4)+(0,−3)=(1,1)$,$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}=(2,0)−(1,4)=(1,−4)$,所以$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$对应的复数是1+i,$\overrightarrow{AC}$对应的复数是1−4i.
(2)由已知得点A,B,C的坐标分别为(1,4),(0,−3),(2,0),则AC的中点为$(\frac{3}{2},2)$，由平行四边形的性质知BD的中点也是$(\frac{3}{2},2)$,若设D(x₀,y₀),则有
$\begin{cases}\frac{0 + x₀}{2}=\frac{3}{2}, & 解得x₀=3,\\\frac{−3 + y₀}{2}=2, & 解得y₀=7,\end{cases}$
　故D(3,7).即顶点D对应的复数为3+7i

[典例3]　已知复数x² + x - 2+(x² - 3x + 2)i (x∈R)是4 - 20i的共轭复数，则x的值为______。

答案： −3

1. 设z = - 3 + 2i，则在复平面内z对应的点位于(　　)
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限

答案： C

2. 已知x² + x + (y - 1)i与2 + 3i互为共轭复数，则实数x，y的值分别为______。

答案： 1或−2,−2

[典例4]　已知复数z₁ = $\sqrt{3}$ + i，z₂ = - $\frac{1}{2}$ + $\frac{\sqrt{3}}{2}$i。
(1)求|z₁|及|z₂|并比较大小；
(2)设z∈C，满足条件|z| = |z₁|的复数z对应的点Z的轨迹是什么图形？

答案： 解:
(1)|z₁|=$|\sqrt{3}+i|=\sqrt{(\sqrt{3})² + 1²}=2$,
$|z₂|=\sqrt{(-\frac{1}{2})² + (\frac{\sqrt{3}}{2})²}=1$,所以$|z₁|＞|z₂|$.
(2)(法一)设z=x + yi(x,y∈R),则点Z的坐标为(x,y).
　由$|z|=|z₁|=2$得$\sqrt{x² + y²}=2$,即x² + y² = 4.
　所以点Z的轨迹是以原点为圆心,2为半径的圆.
　(法二)由$|z|=|z₁|=2$,得$|\overrightarrow{OZ}|=2$(O为坐标原点),
　即点Z到原点O的距离为2.
　所以点Z的轨迹是以原点O为圆心,2为半径的圆.

1. 如果复数z = 1 + ai满足条件|z|＜2，那么实数a的取值范围是(　　)
A. (- 2$\sqrt{2}$,2$\sqrt{2}$)
B. (- 2,2)
C. (- 1,1)
D. (- $\sqrt{3}$,$\sqrt{3}$)

答案： D

2. 设z∈C，满足|z| = 2的点Z的集合表示的是什么图形，并求其面积。

答案：
解:因为$|z|=2$,所以满足条件$|z|=2$的点Z的集合表示以原点O为圆心、2为半径的圆，如图所示，

面积为4π.