《2025年新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

[典例2]　已知cosα−cosβ = $\frac{1}{2}$,sinα−sinβ = −$\frac{1}{3}$,则tan$\frac{\alpha + \beta}{2}$ = ________.
1. [变设问]题设条件不变，试求sin(α + 2β),cos(α + 2β)的值.
2. [变条件]将题设条件“cosα−cosβ = $\frac{1}{2}$,sinα−sinβ = −$\frac{1}{3}$”变为“cosα + cosβ = $\frac{1}{2}$,sinα + sinβ = −$\frac{1}{3}$”,结果如何？

答案： $\frac{3}{2}$
@@1. 解:
∵cosα - cosβ = $\frac{1}{2}$，
∴ - 2sin$\frac{α + β}{2}$sin$\frac{α - β}{2}$ = $\frac{1}{2}$。
∵sinα - sinβ = -$\frac{1}{3}$，
∴2cos$\frac{α + β}{2}$sin$\frac{α - β}{2}$ = -$\frac{1}{3}$。
∴sin$\frac{α - β}{2}$ ≠ 0，
∴tan$\frac{α + β}{2}$ = $\frac{3}{2}$。
∴sin(α + β)cos(α + β) = $\frac{2\tan\frac{α + β}{2}}{1 + \tan^{2}\frac{α + β}{2}}$ = $\frac{2}{1 + \frac{9}{4}}$ = $\frac{6}{13}$。2. 解:
∵cosα + cosβ = $\frac{1}{2}$，
∴2cos$\frac{α + β}{2}$cos$\frac{α - β}{2}$ = $\frac{1}{2}$。
∵sinα + sinβ = -$\frac{1}{3}$，
∴2sin$\frac{α + β}{2}$cos$\frac{α - β}{2}$ = -$\frac{1}{3}$。
∴cos$\frac{α - β}{2}$ ≠ 0，
∴tan$\frac{α + β}{2}$ = -$\frac{2}{3}$。