《2025年新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

1. 已知函数$f(x)=\sin(x+\frac{\pi}{2})\cos(\frac{3\pi}{2}+x)-\sqrt{3}\cos^{2}x+\frac{\sqrt{3}}{2},x\in R$。
(1)求函数$f(x)$的最小正周期和对称轴方程；
(2)若函数$f(x)$的定义域为$[0,a]$，值域为$[-\frac{\sqrt{3}}{2},1]$，求实数$a$的取值范围。

答案： 解：
(1) $f(x)=\sin(x + \frac{\pi}{2})\cos(\frac{3\pi}{2} + x) - \sqrt{3}\cos^{2}x + \frac{\sqrt{3}}{2}$
$=\sin x\cos x - \frac{\sqrt{3}(1 + \cos2x)}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}$
$=\frac{1}{2}\sin2x - \frac{\sqrt{3}}{2}\cos2x$
$=\sin(2x - \frac{\pi}{3})$
所以函数$f(x)$的最小正周期$T = \pi$。
令$2x - \frac{\pi}{3} = k\pi + \frac{\pi}{2}(k\in Z)$，解得$x = \frac{k\pi}{2} + \frac{5\pi}{12}(k\in Z)$，所以函数$f(x)$的对称轴方程为$x = \frac{k\pi}{2} + \frac{5\pi}{12}(k\in Z)$。
(2) 由函数$f(x)$的定义域为$[0,a]$，值域为$[-\frac{\sqrt{3}}{2},1]$，可得$2a - \frac{\pi}{3}\in[\frac{\pi}{2},\frac{4\pi}{3}]$，解得$\frac{5\pi}{12}\leq a\leq\frac{5\pi}{6}$。
故实数$a$的取值范围为$[\frac{5\pi}{12},\frac{5\pi}{6}]$。

2. 点$P$在直径为$AB = 1$的半圆上移动，过点$P$作圆的切线$PT$，且$PT = 1$，$\angle PAB = \alpha$，问：
$\alpha$为何值时，四边形$ABTP$的面积最大？

[析题建模]

答案：
解：连接$PB$，因为$AB$为圆的直径，所以$\angle APB = 90^{\circ}$。因为$\angle PAB = \alpha$，$AB = 1$，所以$PA = \cos\alpha$，$PB = \sin\alpha$。又$PT$切圆于$P$点，则$\angle TPB = \angle PAB = \alpha$，过点$B$作$BC\perp PT$，垂足为$C$。
所以$BC = \sin\alpha\cdot PB = \sin^{2}\alpha$。
所以$S_{四边形ABTP} = S_{\triangle PAB} + S_{\triangle TPB} = \frac{1}{2}PA\cdot PB + \frac{1}{2}PT\cdot BC$
$=\frac{1}{2}\sin\alpha\cos\alpha + \frac{1}{2}\sin^{2}\alpha$
$=\frac{1}{4}\sin2\alpha + \frac{1}{4}(1 - \cos2\alpha)$
$=\frac{1}{4}(\sin2\alpha - \cos2\alpha) + \frac{1}{4}$
$=\frac{\sqrt{2}}{4}\sin(2\alpha - \frac{\pi}{4}) + \frac{1}{4}$
因为$0 ＜ \alpha ＜ \frac{\pi}{2}$，所以$-\frac{\pi}{4} ＜ 2\alpha - \frac{\pi}{4} ＜ \frac{3\pi}{4}$。
所以当$2\alpha - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$，即$\alpha = \frac{3\pi}{8}$时，$S_{四边形ABTP}$最大。

3. 若$\cos(\frac{\pi}{4}+x)=\frac{3}{5}$，$\frac{17\pi}{12}\lt x\lt\frac{7\pi}{4}$，求$\frac{\sin2x + 2\sin^{2}x}{1 - \tan x}$的值。

答案： 解：(法一) 根据已知条件分别求出$\sin x$，$\cos x$，$\tan x$（角的变换）直接带入公式求解。由$\frac{17\pi}{12} ＜ x ＜ \frac{7\pi}{4}$，得$\frac{5\pi}{3} ＜ x + \frac{\pi}{4} ＜ 2\pi$，又$\cos(\frac{\pi}{4} + x) = \frac{3}{5}$，所以$\sin(\frac{\pi}{4} + x) = -\frac{4}{5}$。
所以$\cos x = \cos[(\frac{\pi}{4} + x) - \frac{\pi}{4}]$
$=\cos(\frac{\pi}{4} + x)\cos\frac{\pi}{4} + \sin(\frac{\pi}{4} + x)\sin\frac{\pi}{4}$
$=-\frac{\sqrt{2}}{10}$
从而$\sin x = -\frac{7\sqrt{2}}{10}$，$\tan x = 7$，故原式$=\frac{2\sin x\cos x + 2\sin^{2}x}{1 - \tan x}$
$=\frac{2\times(-\frac{7\sqrt{2}}{10})\times(-\frac{\sqrt{2}}{10}) + 2\times(-\frac{7\sqrt{2}}{10})^{2}}{1 - 7}$
$=-\frac{28}{75}$
(法二) 由分母中“$1 - \tan x$”，联想到$\frac{1 + \tan x}{1 - \tan x} = \tan(x + \frac{\pi}{4})$，而已知的角正是“$\frac{\pi}{4} + x$”。
因为$\cos(\frac{\pi}{4} + x) = \frac{3}{5}$，$\frac{17\pi}{12} ＜ x ＜ \frac{7\pi}{4}$，所以$x + \frac{\pi}{4}\in(\frac{5\pi}{3},2\pi)$。
所以$\sin(x + \frac{\pi}{4}) = -\sqrt{1 - \cos^{2}(x + \frac{\pi}{4})} = -\frac{4}{5}$。
所以$\tan(x + \frac{\pi}{4}) = -\frac{4}{3}$。
所以$\frac{\sin2x + 2\sin^{2}x}{1 - \tan x} = \frac{2\sin x\cos x(\cos x + \sin x)}{\cos x - \sin x}$
$=\sin2x\cdot\frac{1 + \tan x}{1 - \tan x}$
$=-\cos(2x + \frac{\pi}{2})\cdot\tan(x + \frac{\pi}{4})$
$=-[2\cos^{2}(x + \frac{\pi}{4}) - 1]\cdot\tan(x + \frac{\pi}{4})$
$=-[2\times\frac{9}{25} - 1]\cdot(-\frac{4}{3})$
$=-\frac{28}{75}$
(法三) 利用平方关系分别求$\cos x - \sin x$，$\sin x\cos x$，$\cos x + \sin x$，然后整体代入。
因为$\cos(\frac{\pi}{4} + x) = \frac{3}{5}$，所以$\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos x - \sin x) = \frac{3}{5}$。
所以$\cos x - \sin x = \frac{3\sqrt{2}}{5}$，平方可得$1 - 2\sin x\cos x = \frac{18}{25}$，所以$\sin x\cos x = \frac{7}{50}$。所以$(\cos x + \sin x)^{2} = 1 + 2\sin x\cos x = \frac{32}{25}$，又$\frac{17\pi}{12} ＜ x ＜ \frac{7\pi}{4}$，所以$\frac{5\pi}{3} ＜ x + \frac{\pi}{4} ＜ 2\pi$。
所以$\cos x + \sin x = \sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4}) ＜ 0$。
所以$\cos x + \sin x = -\frac{4\sqrt{2}}{5}$。
所以$\frac{\sin2x + 2\sin^{2}x}{1 - \tan x} = \frac{2\sin x(\cos x + \sin x)}{1 - \frac{\sin x}{\cos x}}$
$=\frac{2\sin x\cos x(\cos x + \sin x)}{\cos x - \sin x}$
$=-\frac{28}{75}$
(法四) 利用平方关系求$\sin x\cos x$，然后整体代入。
因为$\frac{\sin2x + 2\sin^{2}x}{1 - \tan x} = \frac{2\sin x\cos x + 2\sin^{2}x}{1 - \frac{\sin x}{\cos x}}$
$=\frac{2\sin x\cos x(\cos x + \sin x)}{\cos x - \sin x}$
$=2\sin x\cos x\cdot\frac{\sin(x + \frac{\pi}{4})}{\cos(x + \frac{\pi}{4})}$
因为$\cos(\frac{\pi}{4} + x) = \frac{3}{5}$，$\frac{17\pi}{12} ＜ x ＜ \frac{7\pi}{4}$，所以$\sin(x + \frac{\pi}{4}) = -\frac{4}{5}$，所以$2\sin x\cos x = \frac{7}{25}$。
所以$\frac{2\sin x\cos x\sin(x + \frac{\pi}{4})}{\cos(x + \frac{\pi}{4})} = -\frac{28}{75}$。
所以$\frac{\sin2x + 2\sin^{2}x}{1 - \tan x} = -\frac{28}{75}$。
(法五) 将$x + \frac{\pi}{4}$视为整体，利用倍角公式。
$\frac{\sin2x + 2\sin^{2}x}{1 - \tan x} = \frac{2\sin x\cos x + 2\sin^{2}x}{1 - \frac{\sin x}{\cos x}} = \frac{2\sin x\cos x(\cos x + \sin x)}{\cos x - \sin x}$
其中$\cos x + \sin x = \sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4})$，$\cos x - \sin x = \sqrt{2}\cos(x + \frac{\pi}{4})$。
因为$\frac{17\pi}{12} ＜ x ＜ \frac{7\pi}{4}$，所以$x + \frac{\pi}{4}\in(\frac{5\pi}{3},2\pi)$。
再结合$\cos(\frac{\pi}{4} + x) = \frac{3}{5} ＞ 0$，可得$\sin(x + \frac{\pi}{4}) = -\frac{4}{5}$。
因为$2\sin x\cos x = \sin2x = -\cos(\frac{\pi}{2} + 2x)$
$=-\cos[2(\frac{\pi}{4} + x)] = 1 - 2\cos^{2}(\frac{\pi}{4} + x) = \frac{7}{25}$。
所以原式$=\frac{2\sin x\cos x(\cos x + \sin x)}{\cos x - \sin x} = -\frac{28}{75}$。