《2025年新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

1. 小明解“已知角α终边上一点P(−4,3)，求$\frac{\cos(\frac{\pi}{2}+\alpha)\sin(-\pi - \alpha)}{\cos(\frac{11\pi}{2}-\alpha)\sin(\frac{9\pi}{2}+\alpha)}$的值”的过程如下:
解: 由$r = \sqrt{(-4)^2 + 3^2}=5$，
得$\sin\alpha = \frac{3}{5}$，$\cos\alpha = -\frac{4}{5}$，
∴原式$=\frac{-\sin\alpha\cdot[-\sin(\pi + \alpha)]}{\cos(5\pi + \frac{\pi}{2}-\alpha)\sin(4\pi + \frac{\pi}{2}+\alpha)}$
$=\frac{-\sin\alpha\cdot\sin\alpha}{\cos(\frac{\pi}{2}-\alpha)\cdot\sin(\frac{\pi}{2}+\alpha)}$
$=\frac{-\sin\alpha\cdot\sin\alpha}{\sin\alpha\cdot\cos\alpha}$ $=\frac{3}{4}$。
你认为小明的解题过程正确吗？若不正确，请分析错在哪里，并给出正确的解题过程。

答案： 提示：不正确在化简 cos($\frac{11\pi}{2}-\alpha$) 时出错，容易化简成 cos($\frac{11\pi}{2}-\alpha$)=cos(5$\pi$+$\frac{\pi}{2}-\alpha$)=cos($\frac{\pi}{2}-\alpha$)=sin$\alpha$，从而得出错解。
正解如下：
由 r = $\sqrt{(-4)^2 + 3^2}$ = 5，
得 sin$\alpha$ = $\frac{3}{5}$，cos$\alpha$ = -$\frac{4}{5}$，
∴原式 = -cos(6$\pi - \frac{\pi}{2} - \alpha$) - sin(4$\pi + \frac{\pi}{2} + \alpha$)
= cos(-$\frac{\pi}{2} - \alpha$) - sin($\frac{\pi}{2} + \alpha$)
= -sin$\alpha$ - cos$\alpha$
= $\frac{-sin\alpha}{-cos\alpha}$ = $\frac{sin\alpha}{cos\alpha}$ = -$\frac{3}{4}$。

2. (1) 已知$f(\sin x)=\cos x$，求$f(\cos x)$。
(2) 已知$f(\sin x)=\cos17x$，求$f(\cos x)$。
(3) 请同学们试探究以下式子成立的条件。
① 对于怎样的整数$k$，能由$f(\sin x)=\cos kx$推出$f(\cos x)=\sin kx$成立？说明理由。
② 对于怎样的整数$k$，能由$f(\cos x)=\cos kx$推出$f(\sin x)=\sin kx$成立？说明理由。
③ 对于怎样的整数$k$，能由$f(\sin x)=\sin kx$推出$f(\cos x)=\cos kx$成立？说明理由。

答案： 解：
(1)
∵ f(sin x) = cos x，
∴ f(cos x) = f(sin($\frac{\pi}{2} - x$)) = cos($\frac{\pi}{2} - x$) = sin x。
(2)
∵ f(sin x) = cos 17x，
∴ f(cos x) = f(sin($\frac{\pi}{2} - x$)) = cos[17($\frac{\pi}{2} - x$)]
= cos($\frac{17\pi}{2} - 17x$) = sin 17x。
(3) ① 由 f(cos x) = f(sin($\frac{\pi}{2} - x$)) = cos[k($\frac{\pi}{2} - x$)] = cos($\frac{k\pi}{2} - kx$) = sin($\frac{\pi}{2} - \frac{k\pi}{2} + kx$) = sin kx，k ∈ Z，
得 $\frac{\pi}{2} - \frac{k\pi}{2} + kx$ = kx + 2n$\pi$，n ∈ Z，解得 k = 1 - 4n，n ∈ Z。
② 若 f(cos x) = cos kx(k ∈ Z)，则 f(sin x) = f(cos($\frac{\pi}{2} - x$))
= cos[k($\frac{\pi}{2} - x$)] = cos($\frac{k\pi}{2} - kx$)
= cos[$\frac{(k - 1)\pi}{2} + (\frac{\pi}{2} - kx)$] = cos($\frac{\pi}{2} - kx$) = sin kx 成立，从而 $\frac{(k - 1)\pi}{2}$ = 2n$\pi$，n ∈ Z，即 k = 4n + 1，n ∈ Z。
③ f(cos x) = f(sin($\frac{\pi}{2} - x$)) = sin[k($\frac{\pi}{2} - x$)]
= sin($\frac{k\pi}{2} - kx$)
= $\begin{cases}\sin kx, & k = 4n, n \in Z \\\cos kx, & k = 4n + 1, n \in Z \\\sin kx, & k = 4n + 2, n \in Z \\-\cos kx, & k = 4n + 3, n \in Z\end{cases}$
故 f(cos x) = cos kx 成立的条件是 k = 4n + 1，n ∈ Z。