《2025年新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

1. 已知函数$y = A\sin(\omega x + \varphi)(A＞0,\omega＞0)$的图象过点$P(\frac{\pi}{12},0)$，图象与$P$点最近的一个最高点坐标为$(\frac{\pi}{3},5)$。
(1)求该函数的一个解析式；
(2)求函数的单调递增区间；
(3)求使$y\leq0$的$x$的取值范围。

答案： 解:
(1)
∵图象最高点的坐标为($\frac{π}{3}$,5),
∴A = 5.
∵$\frac{T}{4}$ = $\frac{π}{3}$ - $\frac{π}{12}$ = $\frac{π}{4}$,
∴T = π.
∴ω = $\frac{2π}{T}$ = 2.
∴y = 5sin(2x + φ).代入点($\frac{π}{3}$,5),得sin($\frac{2}{3}$π + φ) = 1.
　$\frac{2}{3}$π + φ = 2kπ + $\frac{π}{2}$,k∈Z.
　令k = 0,则φ = -$\frac{π}{6}$,
∴y = 5sin(2x - $\frac{π}{6}$).
(2)
∵函数的单调递增区间满足
　2kπ - $\frac{π}{2}$ ≤ 2x - $\frac{π}{6}$ ≤ 2kπ + $\frac{π}{2}$(k∈Z),
∴2kπ - $\frac{π}{3}$ ≤ 2x ≤ 2kπ + $\frac{2π}{3}$(k∈Z).
∴kπ - $\frac{π}{6}$ ≤ x ≤ kπ + $\frac{π}{3}$(k∈Z).
∴函数y = 5sin(2x - $\frac{π}{6}$)的单调递增区间为
　[kπ - $\frac{π}{6}$,kπ + $\frac{π}{3}$](k∈Z).
(3)
∵5sin(2x - $\frac{π}{6}$) ＜ 0,
∴2kπ - π ＜ 2x - $\frac{π}{6}$ ＜ 2kπ(k∈Z).
∴kπ - $\frac{5}{12}$π ＜ x ＜ kπ + $\frac{π}{12}$(k∈Z).
∴x的取值范围为{x|kπ - $\frac{5}{12}$π ＜ x ＜ kπ + $\frac{π}{12}$,k∈Z}.

2. 如图，弹簧挂着的小球做上下振动，它在$t$（单位：$s$）时相对于平衡位置 (静止时的位置)的高度$h$（单位：$cm$）由关系式$h = A\sin(\omega t + \frac{\pi}{4})$确定，其中$A＞0,\omega＞0,t\in[0, +\infty)$。在振动中，小球两次到达最高点的最短时间间隔为$1s$，且最高点与最低点间的距离为$10cm$。

(1)求小球相对平衡位置的高度$h$和时间$t$之间的函数关系；
(2)若小球在$t_0s$内经过最高点的次数恰为$25$次，求$t_0$的取值范围。

答案： 解:
(1)
∵小球振动过程中最高点与最低点间的距离为10cm，
∴A = $\frac{10}{2}$ = 5.
∵小球振动过程中两次到达最高点的最短时间间隔为1s，
∴最小正周期T = 1,
∴ω = $\frac{2π}{T}$ = 2π,
∴h = 5sin(2πt + $\frac{π}{4}$)(t≥0).
(2)由
(1)知,当t = $\frac{1}{8}$时，小球第一次到达最高点，以后每经过一个周期都出现一次最高点.
∵小球在t₀s内经过最高点的次数恰为25次,
∴$\frac{1}{8}$ + 24T ≤ t₀ ＜ $\frac{1}{8}$ + 25T;
又T = 1,
∴$\frac{193}{8}$ ≤ t₀ ＜ $\frac{201}{8}$,
即t₀的取值范围为[$\frac{193}{8}$,$\frac{201}{8}$).