《2025年新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

[例5]　某市规划一个平面示意图为如图五边形ABCDE的一条自行车赛道,ED,DC,CB,BA,AE为赛道(不考虑宽度),BE为赛道内的一条服务通道，∠BCD = ∠CDE = ∠BAE = $\frac{2π}{3}$,DE = 4km,BC = CD = $\sqrt{3}$km.

　　(1)求服务通道BE的长度;
　　(2)应如何设计，才能使折线段赛道BAE最长?

答案：
解:
(1)如图,连接BD,在△BCD中,

由余弦定理，得
BD² = BC² + CD² - 2BC·CDcos∠BCD = 9
∴BD = 3.
∵BC = CD
∴∠CBD = ∠CDB = $\frac{π}{6}$.
又∠CDE = $\frac{2π}{3}$，
∴∠BDE = $\frac{π}{2}$
在Rt△BDE中，BE = $\sqrt{BD² + DE²}$ = 5.
故BE的长度为5km.
(2)在△BAE中，∠BAE = $\frac{2π}{3}$，BE = 5.
由余弦定理，得BE² = AB² + AE² - 2AB·AEcos∠BAE
即25 = AB² + AE² + AB·AE
故(AB + AE)² - 25 = AB·AE ≤ ($\frac{AB + AE}{2}$)²
从而$\frac{3}{4}$(AB + AE)² ≤ 25，即AB + AE ≤ $\frac{10\sqrt{3}}{3}$
当且仅当AB = AE时，等号成立，即设计为AB = AE时，折线段赛道BAE最长.

1. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，其面积为S，且b(a - b + c)(sinA + sinB + sinC) = 6S.
　(1)求角B的大小;
　(2)若a = b + 1，c = b - 2，求cosA，cosC的值。

答案： 解:
(1)由S = $\frac{1}{2}$absinC及b(a - b + c)(sinA + sinB + sinC) = 6S，得(a - b + c)(sinA + sinB + sinC) = 3asinC
由正弦定理，得(a - b + c)(a + b + c) = 3ac
所以a² + c² - b² = ac
由余弦定理，得cosB = $\frac{a² + c² - b²}{2ac}$ = $\frac{ac}{2ac}$ = $\frac{1}{2}$
因为0 ＜ B ＜ π，所以B = $\frac{π}{3}$
(2)因为a² + c² - b² = ac，a = b + 1，c = b - 2
所以(b + 1)² + (b - 2)² - b² = (b + 1)(b - 2)
解得b = 7，所以a = 8，c = 5
所以cosA = $\frac{b² + c² - a²}{2bc}$ = $\frac{7² + 5² - 8²}{70}$ = $\frac{1}{7}$
cosC = $\frac{a² + b² - c²}{2ab}$ = $\frac{8² + 7² - 5²}{112}$ = $\frac{11}{14}$

2. 某轮船以v nmile/h的速度航行，在A点测得海面上油井P在南偏东60°.轮船从A处向北航行30min后到达B处，测得油井P在南偏东15°，且BP = 10$\sqrt{3}$nmile.轮船以相同的速度改为向东北方向再航行60min后到达C点.($\sqrt{6}$≈2.449)

　(1)求轮船的速度;
　(2)求P，C两点间的距离(精确到1nmile).

答案： 解:
(1)由题意可知，在△APB中，∠PAB = 120°，∠PBA = 15°，所以∠APB = 45°.
又BP = 10$\sqrt{3}$，由正弦定理，得$\frac{BP}{sin∠PAB}$ = $\frac{AB}{sin∠APB}$，即$\frac{10\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$ = $\frac{AB}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$，解得AB = 10$\sqrt{2}$
所以速度 = $\frac{AB}{0.5}$ = $\frac{10\sqrt{2}}{0.5}$ = 20$\sqrt{2}$.
故轮船的速度是20$\sqrt{2}$nmile/h.
(2)由
(1)得BC = 20$\sqrt{2}$，由题意可得∠CBP = 120°.
在△PBC中，由余弦定理，得PC² = BC² + BP² - 2·BC·BP·cos∠CBP
所以PC² = (20$\sqrt{2}$)² + (10$\sqrt{3}$)² - 2×20$\sqrt{2}$×10$\sqrt{3}$×(-$\frac{1}{2}$) = 1100 + 200$\sqrt{6}$ = 100(11 + 2$\sqrt{6}$) = 10²(11 + 2$\sqrt{6}$)
所以PC = 10$\sqrt{11 + 2\sqrt{6}}$ ≈ 39.87(nmile).
所以P，C两点间的距离约为40nmile.