《2025年新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

已知O为正六边形ABCDEF的中心，在图中所标出的向量中：

(1) 试找出与$\overrightarrow{FE}$共线的向量；
(2) 确定与$\overrightarrow{FE}$相等的向量；
(3) $\overrightarrow{OA}$与$\overrightarrow{BC}$相等吗？

答案： 解:
(1)由O为正六边形ABCDEF的中心，得与FE共线的向量有BC和OA。
(2)由于BC与FE长度相等且方向相同，所以BC = FE。
(3)显然OA // BC，且|OA| = |BC|，但OA与BC的方向相反，所以这两个向量不相等。

[典例4]　如图，在正五边形ABCDE中，O为正五边形的中心， 指出下列各组向量的夹角。

(1) $\overrightarrow{BO}$与$\overrightarrow{OD}$；(2) $\overrightarrow{OB}$与$\overrightarrow{OD}$；(3) $\overrightarrow{BO}$与$\overrightarrow{BA}$。
1. [变设问]若把典例中的问题改为求$\overrightarrow{BO}$与$\overrightarrow{OC}$的夹角，则结果如何？
2. [变设问]你能求出典例中$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{DC}$的夹角大小吗？

答案：
解:由正五边形知识知，正五边形的每个内角为108°，中心O与各顶点连线构成五个全等的顶角为72°，底角为54°的等腰三角形，所以得∠BOD = 144°，故OB与OD的夹角为144°。BO与OD的夹角为∠BOD的补角，故BO与OD的夹角为180° - 144° = 36°。∠OBA为BO与BA的夹角，故BO与BA的夹角为54°。
(1)BO与OD的夹角为36°。
(2)OB与OD的夹角为144°。
(3)BO与BA的夹角为54°。
@@1.解:由正五边形知识可得∠BOC = 72°，故BO与OC的夹角为108°。
2.解:如图，连接AD，延长AB，DC交于点F，则∠AFD与AB，DC两向量的夹角相等，易求得∠FAD = ∠FDA = 72°，故∠AFD = 36°，故AB与DC的夹角为36°。