《2025年新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

1. 已知$|\vec{a}| = 1$，$|\vec{b}| = 2$，向量$\vec{a}$，$\vec{b}$的夹角为$\frac{\pi}{3}$，则$\vec{a}\cdot(\vec{a} + \vec{b})$等于（　　）
A.$\sqrt{3} - 1$　　　　　　
B.1
C.2　　　　　　　　
D.$\sqrt{3} + 1$

答案： 1.C

2. 如图，在$\triangle ABC$中，$AD\perp AB$，$BC = \sqrt{3}BD$，$|AD| = 2$，则$\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AD}=$（　　）


A.$2\sqrt{3}$　　　　　　　
B.$4\sqrt{3}$
C.3　　　　　　　　
D.$\sqrt{3}$

答案： 2.B

[典例2]　(1)已知向量$\vec{a}$，$\vec{b}$，$|\vec{b}| = 2$，且$\vec{a}$在$\vec{b}$方向上的投影数量为$-\frac{1}{2}$，则$\vec{a}\cdot\vec{b}$等于（　　）
A.0　　　　　　　　B.$-\frac{1}{2}$
C.$-1$　　　　　　　D.$-2$

答案： C

(2)已知单位向量$\vec{e_1}$，$\vec{e_2}$的夹角为$\frac{\pi}{3}$，$\vec{a} = 2\vec{e_1} - \vec{e_2}$，则$\vec{a}$在$\vec{e_1}$方向上的投影数量为______。

答案： $\frac{3}{2}$

1. 已知$\vec{a}\cdot\vec{b} = 16$，若$\vec{a}$在$\vec{b}$方向上的投影数量为$4|\vec{b}|$，则$|\vec{b}| =$______。

答案： 2

2. 若两个非零向量$\vec{a}$，$\vec{b}$满足$|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a} - \vec{b}| = 2|\vec{b}| = 4$，则向量$\vec{a}$在$\vec{a} + \vec{b}$方向上的投影数量为______。

答案： 3

[典例3]　(多选)若向量$\vec{e_1}$，$\vec{e_2}$是夹角为$\frac{2\pi}{3}$的单位向量，$\vec{a} = \vec{e_1} - 2\vec{e_2}$，$\vec{b} = 2\vec{e_1} + \vec{e_2}$，则下列结论正确的是（　　）
A.$\vec{a}\perp\vec{b}$　　　　　　
B.$|\vec{a}| = \sqrt{7}$
C.$|\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{13}$　　
D.$\cos\langle\vec{a},\vec{a} - \vec{b}\rangle = \frac{11}{14}$

答案： BD

1. (2023·全国甲卷)已知向量$\vec{a}$，$\vec{b}$，$\vec{c}$满足$|\vec{a}| = |\vec{b}| = 1$，$|\vec{c}| = \sqrt{2}$，且$\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = 0$，则$\cos\langle\vec{a} - \vec{c},\vec{b} - \vec{c}\rangle =$（　　）
A.$-\frac{4}{5}$　　　　　　　
B.$-\frac{2}{5}$
C.$\frac{2}{5}$　　　　　　　　
D.$\frac{4}{5}$

答案： D