《2025年新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

1. 角α的终边经过点P(x,4)，且cosα = $\frac{x}{5}$，求sinα的值。
解：点P(x,4)到原点的距离r = $\sqrt{x² + 16}$
由cosα = $\frac{x}{5}$得$\frac{x}{\sqrt{x² + 16}}$ = $\frac{x}{5}$，所以$\sqrt{x² + 16}$ = 5，即r = 5，所以sinα = $\frac{y}{r}$ = $\frac{4}{5}$。
分析以上解题过程，判断是否正确。若错误，指出错在何处，并给出正确的解题过程。

答案： 提示:错误.错误的根本原因是忽视对点的坐标中的x进行分类讨论.实际上本题中要分x = 0和x ≠ 0两种情况讨论.
正解如下:
点P(x, 4)到原点的距离r = $\sqrt{x^{2}+16}$
①当x = 0时, r = 4.由三角函数的定义,有sinα = $\frac{4}{4}$ = 1.
②当x ≠ 0时,由cosα = $\frac{x}{5}$,得$\frac{x}{\sqrt{x^{2}+16}}$ = $\frac{x}{5}$,
所以$\sqrt{x^{2}+16}$ = 5,即r = 5.由三角函数的定义,有sinα = $\frac{y}{r}$ = $\frac{4}{5}$.
综上可得, sinα = $\frac{4}{5}$或sinα = 1.

2. 如图，动点P,Q从点A(4,0)出发，沿圆周运动，点P按逆时针方向每秒钟转$\frac{π}{3}$弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转$\frac{π}{6}$弧度，求点P,Q第一次相遇时所用的时间、相遇点的坐标及点P,Q各自走过的弧长。

答案： 解:设点P, Q第一次相遇时所用的时间是t秒，
则t·$\frac{π}{3}$ + t·| - $\frac{π}{6}$| = 2π.
∴t = 4,即第一次相遇的时间为4秒.
设第一次相遇点为C,第一次相遇时P点已运动到终边在$\frac{π}{3}$×4 = $\frac{4π}{3}$的位置，
则x_c = - 2cos$\frac{π}{3}$ = - 1,
y_c = - 2sin$\frac{π}{3}$ = - $\sqrt{3}$
∴C点的坐标为(- 1, - $\sqrt{3}$),
P点走过的弧长为$\frac{π}{3}$×4 = $\frac{4π}{3}$,
Q点走过的弧长为$\frac{π}{6}$×4 = $\frac{2π}{3}$