《2025年新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

1. 已知函数f(x)的图象可看作是由函数g(x) =sin2x的图象向右平移$\frac{π}{8}$个单位长度得到的，则函数f(x)的一个单调递减区间为　　　(　　　)
A. (-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$)　　　　　　B. ($\frac{π}{4}$，$\frac{7π}{8}$)
C. (-$\frac{π}{8}$，$\frac{3π}{8}$)　　　　　　D. (- ，-$\frac{π}{8}$)

答案： D

2. 函数f(x) = sin($\frac{π}{6}$ - 2x)的最小正周期T =
________，函数g(x) = sin($\frac{π}{3}$ - 2x)的图象向左平移t个单位长度(t∈(0，π))得到函数f(x)的图象，则实数t = ________。

答案： π　$\frac{π}{12}$

[典例3]　已知函数f(x) = sin(ωx + φ)(ω＞0，0≤φ＜π)是R上的偶函数，其图象关于点M($\frac{3π}{4}$，0)对称，且在区间[0，$\frac{π}{2}$]上是单调函数，求φ和ω的值。
2. [变条件、变设问]将本例中“偶”改为“奇”，“其图象关于点M($\frac{3π}{4}$，0)对称，且在区间[0，$\frac{π}{2}$]上是单调函数”改为“在区间[-$\frac{3π}{2}$，$\frac{π}{2}$]上单调递增”，试求ω的最大值。

答案： 解:由f(x)是偶函数,得f(−x)=f(x),
　即函数f(x)的图象关于y轴对称,
∴f(x)在x=0时取得最值,即sinφ=1或−1.
　结合0≤φ＜π,可得φ=$\frac{π}{2}$.
　由f(x)的图象关于点M对称,可知sin($\frac{3π}{4}$ω+$\frac{π}{2}$)=0，
　即$\frac{3π}{4}$ω+$\frac{π}{2}$=kπ,k∈Z,解得ω=$\frac{4k}{3}$−$\frac{2}{3}$,k∈Z.
　又f(x)在[0,$\frac{π}{2}$]上是单调函数,
∴T≥π,即$\frac{2π}{ω}$≥π.
∴ω＜2.又ω＞0,
∴k=1时,ω=$\frac{2}{3}$;k=2时,ω=2.
　故φ=$\frac{π}{2}$,ω=2或$\frac{2}{3}$.
@@2.解:因为f(x)是奇函数,所以f
(0)=sinφ=0.又0≤φ＜π,所以φ=0.因为f(x)=sinωx在[−$\frac{π}{2}$,$\frac{π}{2}$]上单调递增，且ω＞0,

　所以[−$\frac{3π}{2ω}$,$\frac{π}{2ω}$]⊆[−$\frac{π}{2}$,$\frac{π}{2}$],于是−$\frac{3π}{2ω}$≥−$\frac{π}{2}$,且$\frac{π}{2ω}$≤$\frac{π}{2}$,

　解得0＜ω≤$\frac{1}{3}$,所以ω的最大值为$\frac{1}{3}$.

1. 将函数f(x) = sin(ωx + $\frac{π}{6}$)的图象向右平移$\frac{2π}{3}$个单位长度后，所得图象与原图象重合，则正数ω的最小值为________。

答案： 3