《2025年新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

1. 某农场有一块扇形农田，如图所示. 已知扇形OAB的圆心角为$\frac{π}{4}$，半径为80米，点P在AB上，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D. 现要在△OPC和△OPD区域中分别种植甲、乙两种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜单位面积年产值之比为1:$\sqrt{3}$. 设∠AOP = θ，0＜θ＜$\frac{π}{4}$.
　(1)用θ分别表示△OPC和△OPD的面积;
　(2)当θ为何值时，该农场种植甲、乙两种蔬菜的年总产值最大？
　　　　　　　　　　　　　　

答案： 解:
(1)在Rt△OPC中,PC = OPsinθ = 80sinθ,
　OC = OPcosθ = 80cosθ,所以△OPC的面积为$\frac{1}{2}$×PC×OC =
　3200sinθcosθ = 1600sin2θ,
　同理,△OPD的面积为1600sin2($\frac{π}{4}$ - θ)=1600cos2θ.
(2)设农场种植甲、乙两种蔬菜的年总产值为y，甲、乙两种蔬菜每平方米年产值分别为t,$\sqrt{3}$t(t＞0),
　则y = 1600sin2θ·t + 1600cos2θ·$\sqrt{3}$t = 3200tsin(2θ + $\frac{π}{3}$).
∵0＜θ＜$\frac{π}{4}$,
∴$\frac{π}{3}$＜2θ + $\frac{π}{3}$＜$\frac{5π}{6}$.
∴当2θ + $\frac{π}{3}$ = $\frac{π}{2}$,即θ = $\frac{π}{12}$时，y取得最大值.

2. (2024.北京高考)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A为钝角，a = 7，sin2B = $\frac{3}{7}$bcosB.
　(1)求A.
　(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在，求△ABC的面积.
　条件①:b = 7;
　条件②:cosB = $\frac{13}{14}$;
　条件③:csinA = $\frac{5\sqrt{3}}{2}$.

答案： 解:
(1)由已知,得2sinBcosB = $\frac{\sqrt{3}}{7}$bcosB.
　又A为钝角，所以B为锐角，故cosB≠0,所以2sinB = $\frac{\sqrt{3}}{7}$b.
　又$\frac{14}{\sqrt{3}}$ = $\frac{b}{sinB}$ = $\frac{a}{sinA}$ = $\frac{7}{sinA}$,所以sinA = $\frac{\sqrt{3}}{2}$.
　又A为钝角,所以A = $\frac{2π}{3}$.
(2)若选①,结合
(1),得2sinB = $\frac{\sqrt{3}}{7}$×7,所以sinB = $\frac{\sqrt{3}}{2}$,B =
　$\frac{π}{3}$,A + B = π,
　则△ABC不存在,所以条件①不符合要求，故不选择条件①.
　若选②,由题意知,sinB = $\sqrt{1 - cos^{2}B}$ = $\frac{3\sqrt{3}}{14}$.
　又$\frac{a}{sinA}$ = $\frac{b}{sinB}$,即$\frac{7}{sin\frac{2π}{3}}$ = $\frac{b}{\frac{3\sqrt{3}}{14}}$,所以b = 3.
　又C = π - (A + B),所以sinC = sin(A + B) = sinAcosB + cosAsinB = $\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{13}{14}$ - $\frac{1}{2}$×$\frac{3\sqrt{3}}{14}$ = $\frac{5\sqrt{3}}{14}$.
　所以$S_{\triangle ABC}$ = $\frac{1}{2}$absinC = $\frac{1}{2}$×7×3×$\frac{5\sqrt{3}}{14}$ = $\frac{15\sqrt{3}}{4}$.
　若选③，由题意知,c·$\frac{\sqrt{3}}{2}$ = $\frac{5\sqrt{3}}{2}$,所以c = 5.
　由$a^{2}$ = $b^{2}$ + $c^{2}$ - 2bccosA,得49 = $b^{2}$ + 25 + 5b,即(b + 8)(b - 3) = 0,解得b = 3或b = - 8(舍去).
　所以$S_{\triangle ABC}$ = $\frac{1}{2}$bcsinA = $\frac{1}{2}$×3×5×$\frac{\sqrt{3}}{2}$ = $\frac{15\sqrt{3}}{4}$.