《2025年新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

[典例3] 如图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，且$\overrightarrow{AN}=2\overrightarrow{NC}$，AM与BN相交于点P，求AP∶PM与BP∶PN的值。

答案： 解:设BM = e1, CN = e2, 选择基{e1, e2},
则AM = AC + CM = -3e2 - e1,
BN = BC + CN = 2e1 + e2.
∵A, P, M和B, P, N分别共线,
∴存在实数λ, μ使得AP = λAM = -λe1 - 3λe2,
BP = μBN = 2μe1 + μe2.
∴BA = BP + PA = BP - AP = (λ + 2μ)e1 + (3λ + μ)e2.
而BA = BC + CA = 2e1 + 3e2,
故(λ + 2μ)e1 + (3λ + μ)e2 = 2e1 + 3e2,
由平面向量基本定理，得$\begin{cases}λ + 2μ = 2 \\ 3λ + μ = 3 \end{cases}$，解得λ = $\frac{4}{5}$, μ = $\frac{3}{5}$.
∴AP = $\frac{4}{5}$AM, BP = $\frac{3}{5}$BN,
∴AP:PM = 4:1, BP:PN = 3:2.

如图所示，在△OBC中，点A为BC的中点，点D是线段OB上靠近点B的一个三等分点，CD，OA相交于点E，设$\overrightarrow{OA}=\vec{a}$，$\overrightarrow{OB}=\vec{b}$。
（1）试写出向量$\overrightarrow{OC}$，$\overrightarrow{DC}$在基{$a$，$b$}下的分解式；
（2）若$\overrightarrow{OE}=\lambda\overrightarrow{OA}$，求$\lambda$。

答案： 解:
(1)
∵OC + OB = 2OA,
∴OC = 2OA - OB = 2a - b,
DC = OC - OD = 2a - b - $\frac{2}{3}$b = 2a - $\frac{5}{3}$b.
(2)
∵CE = OE - OC = λa - (2a - b) = (λ - 2)a + b,
且E在CD上, CE与DC共线,
∴存在实数μ, 使CE = μDC,
即(λ - 2)a + b = μ(2a - $\frac{5}{3}$b).
由平面向量基本定理，得$\begin{cases}λ - 2 = 2μ \\ 1 = -\frac{5}{3}μ \end{cases}$，解得λ = $\frac{4}{5}$.