《2025年新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

[典例1]（多选）如图，设O是平行四边形ABCD两对角线的交点，下列向量组可作为该平面内的一组基的是（ ）

A. $\overrightarrow{AD}$与$\overrightarrow{AB}$
B. $\overrightarrow{DA}$与$\overrightarrow{BC}$
C. $\overrightarrow{CA}$与$\overrightarrow{DC}$
D. $\overrightarrow{OD}$与$\overrightarrow{OB}$

答案： AC

如图所示，点O为正六边形ABCDEF的中心，则可作为一组基的是（ ）

A. $\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{BC}$
B. $\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{CD}$
C. $\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{CF}$
D. $\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{DE}$

答案： B

[典例2] （1）（多选）已知D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB上的中点，且$\overrightarrow{BC}=\vec{a}$，$\overrightarrow{CA}=\vec{b}$，选择基{$\vec{a}$，$\vec{b}$}，则下列向量的分解式正确的是（ ）
A. $\overrightarrow{AD}=-\frac{1}{2}\vec{a}-\vec{b}$
B. $\overrightarrow{BE}=\vec{a}+\frac{1}{2}\vec{b}$
C. $\overrightarrow{CF}=-\frac{1}{2}\vec{a}+\frac{1}{2}\vec{b}$
D. $\overrightarrow{EF}=\frac{1}{2}\vec{a}$

答案： ABC

（2）如图所示，在▱ABCD中，点E，F分别为BC，DC边上的中点，DE与BF交于点G。若$\overrightarrow{AB}=\vec{a}$，$\overrightarrow{AD}=\vec{b}$，选择基{$\vec{a}$，$\vec{b}$}，试写出向量$\overrightarrow{DE}$，$\overrightarrow{BF}$在此基下的分解式。

1. [变设问]若本例（2）中条件不变，写出向量$\overrightarrow{AG}$在基{$\vec{a}$，$\vec{b}$}下的分解式。
2. [变条件]若本例（2）中的一组基{$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AD}$}换为另一组基{$\overrightarrow{CE}$，$\overrightarrow{CF}$}，即若$\overrightarrow{CE}=\vec{a}$，$\overrightarrow{CF}=\vec{b}$，选择基{$\vec{a}$，$\vec{b}$}，试写出向量$\overrightarrow{DE}$，$\overrightarrow{BF}$在此基下的分解式。

答案： 解:DE = DA + AB + BE = -AD + AB + $\frac{1}{2}$BC = -AD + AB + $\frac{1}{2}$AD = a - $\frac{1}{2}$b.
BF = BA + AD + DF = -AB + AD + $\frac{1}{2}$AB = b - $\frac{1}{2}$a.
1.解:由平面几何的知识可知BG = $\frac{2}{3}$BF,故AG = AB + BG = AB + $\frac{2}{3}$BF = a + $\frac{2}{3}$(b - $\frac{1}{2}$a) = a + $\frac{2}{3}$b - $\frac{1}{3}$a = $\frac{2}{3}$a + $\frac{2}{3}$b.
2.解:DE = DC + CE = 2FC + CE = -2CF + CE = -2b + a.BF = BC + CF = 2EC + CF = -2CE + CF = -2a + b.

3. 若D点在△ABC的边BC上，且$\overrightarrow{CD}=3\overrightarrow{DB}=r\overrightarrow{AB}+s\overrightarrow{AC}$，求$r - s$的值。

答案： 解:因为CD = 3DB = rAB + sAC,
所以CD = $\frac{3}{4}$CB = $\frac{3}{4}$(AB - AC) = rAB + sAC,
所以r = $\frac{3}{4}$, s = -$\frac{3}{4}$, 所以r - s = $\frac{3}{4}$ + $\frac{3}{4}$ = $\frac{3}{2}$.