《2025年新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

1. 在四边形ABCD中，AB = DC，且|BC + BA| = |BC + AB|，求证：四边形ABCD为矩形。

答案：
证明：因为四边形ABCD中，$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$， 所以四边形ABCD为平行四边形，如图。 所以$\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BD}$，$\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$。 因为$|\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BA}| = |\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AB}|$，所以$|\overrightarrow{BD}| = |\overrightarrow{AC}|$， 即平行四边形对角线相等，故四边形ABCD为矩形。

2. 设|a| = 2，e为单位向量，试探索|a + e|的最大值。

答案：
解：在平面内任取一点O，作OA = a，AB = e，则a + e = OA + AB = OB。
因为e为单位向量，所以点B在以A为圆心的单位圆上（如图所示）。

由图可知，当点B在点B1，且点B1在OA的延长线上时，|a + e|最大，最大值是3。

答案： $a+(-b)$ $\overrightarrow{BA}$ $a - b$

[微思考]　移项法则对向量等式适用吗？即若 $\vec{a} - \vec{c} = \vec{b} - \vec{d}$，则 $\vec{a} + \vec{d} = \vec{c} + \vec{b}$ 成立吗?
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答案： 提示:移项法则对向量等式适用成立.

1. 判断正误:
(1) 两个相等向量之差等于 $\vec{0}$。　　　　　(　　　)
(2) 两个相反向量之差等于 $\vec{0}$。　　　　　(　　　)
(3) 两个向量的差仍是一个向量。　　　(　　　)
(4) 向量的减法实质上是向量的加法的逆运算。(　　　)

答案：
(1)√　
(2)×　
(3)√　
(4)√

2. 化简 $\overrightarrow{PM} - \overrightarrow{PN} + \overrightarrow{MN}$ 所得的结果是(　　)
A. $\overrightarrow{MP}$　　　B. $\overrightarrow{NP}$　　　C. $\vec{0}$　　　D. $\overrightarrow{MN}$

答案： C