《2025年新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

求下列各式的值:
　(1)$\sin\frac{\pi}{12}\cos\frac{\pi}{12}$;
　(2)$\frac{2\tan120^{\circ}}{1 - \tan^{2}120^{\circ}}$;
　(3)$\frac{1}{\sin10^{\circ}} - \frac{\sqrt{3}}{\cos10^{\circ}}$;
　(4)$\cos20^{\circ}\cos40^{\circ}\cos80^{\circ}$.

答案： 解:
(1)原式=2sin$\frac{\pi}{12}$cos$\frac{\pi}{12}$=sin$\frac{\pi}{6}$=$\frac{1}{2}$.
(2)原式=tan(2×120°)=tan240°
　=tan(180°+60°)=tan60°=$\sqrt{3}$.
(3)原式=$\frac{2(\frac{1}{2}\cos10^{\circ}-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin10^{\circ})}{\sin10^{\circ}\cos10^{\circ}}$
　=$\frac{4(\sin30^{\circ}\cos10^{\circ}-\cos30^{\circ}\sin10^{\circ})}{\sin20^{\circ}}=\frac{4\sin20^{\circ}}{\sin20^{\circ}} = 4$.
(4)原式=$\frac{2\sin20^{\circ}\cos20^{\circ}\cos40^{\circ}\cos80^{\circ}}{2\sin20^{\circ}}$
　=$\frac{\sin40^{\circ}\cos40^{\circ}\cos80^{\circ}}{2\sin20^{\circ}}$
　=$\frac{\sin80^{\circ}\cos80^{\circ}}{4\sin20^{\circ}}$=$\frac{\sin160^{\circ}}{8\sin20^{\circ}}$=$\frac{1}{8}$.

(1)已知$\sin(\alpha - \frac{\pi}{3}) = - 3\cos(\alpha - \frac{\pi}{6})$，则$\tan2\alpha =$________.　　

答案：
(1)$−4\sqrt 3$

(2)已知$\sin(\frac{\pi}{4} - x) = \frac{5}{13}$，$0 \lt x \lt \frac{\pi}{4}$，则$\frac{\cos2x}{\cos(\frac{\pi}{4} + x)} =$________.
1.[变设问]若本例(2)的条件不变，则$\frac{\sin2x}{\sin(\frac{\pi}{4} + x)}$的值如何？
2.[变条件]若本例(2)条件变为$\tan(\frac{\pi}{4} - x) = \frac{3}{4}$，其他条件不变，结果如何？

答案： $\frac{24}{13}$@@
1.解:因为sin2x=cos($\frac{\pi}{2}$−2x)=1−2sin²($\frac{\pi}{4}$−x)=1−2×($\frac{5}{13}$)²=$\frac{119}{169}$,x∈(0,$\frac{\pi}{4}$),所以$\frac{\pi}{4}$−x∈(0,$\frac{\pi}{4}$).
　又因为sin($\frac{\pi}{4}$−x)=$\frac{5}{13}$,所以cos($\frac{\pi}{4}$−x)=$\frac{12}{13}$,
　sin($\frac{\pi}{4}$+x)=sin[$\frac{\pi}{2}$−($\frac{\pi}{4}$−x)]=cos($\frac{\pi}{4}$−x)=$\frac{12}{13}$,
　所以原式=$\frac{\frac{119}{169}}{\frac{12}{13}}=\frac{119}{156}$.
2.解:因为0＜x＜$\frac{\pi}{4}$,所以0＜$\frac{\pi}{4}$−x＜$\frac{\pi}{4}$,由tan($\frac{\pi}{4}$−x)=$\frac{3}{4}$
　得$\frac{\sin(\frac{\pi}{4}-x)}{\cos(\frac{\pi}{4}-x)}=\frac{3}{4}$,故cos($\frac{\pi}{4}$−x)=$\frac{4}{5}$,
　所以$\frac{\cos2x}{\cos(\frac{\pi}{4}+x)}=\frac{\sin(\frac{\pi}{2}-2x)}{\cos(\frac{\pi}{4}+x)}=\frac{2\sin(\frac{\pi}{4}-x)\cos(\frac{\pi}{4}-x)}{\cos(\frac{\pi}{4}+x)}=\frac{2\sin(\frac{\pi}{4}-x)\cos(\frac{\pi}{4}-x)}{\sin(\frac{\pi}{4}-x)} = 2\cos(\frac{\pi}{4}-x)=\frac{8}{5}$.