《2025年新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

1. 如图所示，在四边形ABCD中，AB = DC，N，M分别是AD，BC上的点，且CN = MA。求证：DN = MB。

答案： 证明:因为AB = DC，所以|AB| = |DC|，且AB // DC，所以四边形ABCD是平行四边形。所以|DA| = |CB|，且DA // CB。又因为DA与CB的方向相同，所以CB = DA。同理可证四边形CNAM是平行四边形，所以CM = NA。因为|CB| = |DA|，|CM| = |NA|，所以|MB| = |DN|，DN // MB，即DN与MB的模相等且方向相同，所以DN = MB。

2. 已知飞机从A地按北偏东30°的方向飞行2000km到达B地，再从B地按南偏东30°的方向飞行2000km到达C地，再从C地按西南方向飞行1000$\sqrt{2}$km到达D地。
(1) 作出向量$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{CD}$，$\overrightarrow{DA}$。
(2) D地在A地的什么方向？D地距A地多远？

答案：
解:
(1)以点A为原点建立平面直角坐标系，作出向量AB，BC，CD，DA，如图所示。
　　　　　　　　　
(2)由图知，D地在A地的东南方向，D地距A地1000$\sqrt{2}$km。