《2025年新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

设$\overrightarrow{OZ_1}$及$\overrightarrow{OZ_2}$分别与复数$z_1 = 1 + 3i$及复数$z_2 = 2 + i$对应，计算$z_1 + z_2$，并在复平面内作出$\overrightarrow{OZ_1}+\overrightarrow{OZ_2}$。

答案：
解:z1+z2=(1+3i)+(2+i)=(1+2)+(3+1)i=3+4i，
在复平面内作出$\overrightarrow{OZ_1}$+$\overrightarrow{OZ_2}$如图中$\overrightarrow{OZ}$所示。

[典例3]　设$z_1$，$z_2\in C$，已知$\vert z_1\vert=\vert z_2\vert = 1$，$\vert z_1 + z_2\vert=\sqrt{2}$，则$\vert z_1 - z_2\vert=$________.

答案： $\sqrt 2$

1. 若复数$z = x + yi$（$x,y\in R$）满足$\vert z - 4i\vert=\vert z + 2\vert$，则$2^x + 4^y$的最小值为（ ）
A. $2$
B. $4$
C. $4\sqrt{2}$
D. $16$

答案： C

2. 已知$\vert z_1\vert=\vert z_2\vert=\vert z_1 - z_2\vert = 1$，则$\vert z_1 + z_2\vert=$________.

答案： $\sqrt 3$

1. 求证:等式|z₁ + z₂|² + |z₁ - z₂|² = 2|z₁|² + 2|z₂|²对任意复数z₁,z₂都成立,并给出这个等式的一个几何意义.

答案： 证明：设$z_1 = a_1 + b_1i$，$z_2 = a_2 + b_2i$，其中$a_1,b_1,a_2,b_2 \in R$。
则$z_1 + z_2 = (a_1 + a_2) + (b_1 + b_2)i$，
$z_1 - z_2 = (a_1 - a_2) + (b_1 - b_2)i$。
所以$\vert z_1 + z_2\vert^2 = (a_1 + a_2)^2 + (b_1 + b_2)^2$
$= a_1^2 + a_2^2 + b_1^2 + b_2^2 + 2a_1a_2 + 2b_1b_2$，
$\vert z_1 - z_2\vert^2 = (a_1 - a_2)^2 + (b_1 - b_2)^2$
$= a_1^2 + a_2^2 + b_1^2 + b_2^2 - 2a_1a_2 - 2b_1b_2$。
所以$\vert z_1 + z_2\vert^2 + \vert z_1 - z_2\vert^2 = 2a_1^2 + 2a_2^2 + 2b_1^2 + 2b_2^2$。
又$\vert z_1\vert^2 = a_1^2 + b_1^2$，$\vert z_2\vert^2 = a_2^2 + b_2^2$，
所以$\vert z_1 + z_2\vert^2 + \vert z_1 - z_2\vert^2 = 2\vert z_1\vert^2 + 2\vert z_2\vert^2$对任意复数$z_1,z_2$都成立。
该等式的一个几何意义可以是：平行四边形对角线的平方和等于相邻两边平方和的$2$倍。

2. 已知复数z₁ = 1 + icosθ,z₂ = sinθ - i,求|z₁ - z₂|的最大值.

答案： 解：$\vert z_1 - z_2\vert = \vert(1 - \sin\theta) + (\cos\theta + 1)i\vert$
$= \sqrt{(1 - \sin\theta)^2 + (1 + \cos\theta)^2} = \sqrt{3 + 2(\cos\theta - \sin\theta)}$
$= \sqrt{3 + 2\sqrt{2}\cos(\theta + \frac{\pi}{4})}$
因为$\vert\cos(\theta + \frac{\pi}{4})\vert_{max} = 1$，
所以$\vert z_1 - z_2\vert_{max} = \sqrt{3 + 2\sqrt{2}} = \sqrt{2} + 1$。