《2025年新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

1.共线(平行)向量基本定理:
　给定一个非零向量b,则对于任意向量a,a//b 的充要条件是存在唯一一个实数λ，使________.　　
[微提醒]　定理中非零向量b中的“非零”不能漏掉.若a=b=0,则实数λ可以是任意实数;若a≠0，b=0,则不存在实数λ,使得a=λb.

答案： a = λb

2.直线的向量表示:
(1)直线的方向向量:通常可以用AP=tAB表示过点A,B的直线L,其中________称为直线l 的方向向量.
(2)用途:表示直线、证明三点共线.
(3)线段AB中点的向量表达式:若点P是AB 的中点,则OP=__________________.

答案：
(1) AB
(3) $\frac{1}{2}$(OA + OB)

1.判断正误:
　(1)若向量b与a共线,则存在唯一的实数λ使b=λa.　　　　　　　　　　　　　　(　　　)
　(2)若b=λa,则a与b共线.　　　　　(　　　)
　(3)若A,B为直线l上不同的两点,则λAB (λ≠0)可以为直线l的方向向量.　　　(　　　)

答案：
(1) ×
(2) √
(3) √

2.在四边形ABCD中,若AB=−$\frac{1}{2}$CD,则此四边形是　　　　　　　　　　　　　　(　　　)　
A.平行四边形　　　　　　　B.菱形　
C.梯形　　　　　　　　　　D.矩形

答案： C

3.已知a与b共线，且方向相同,若|a|=8|b|，则a=________b.

答案： 8

4.已知a,b为不共线向量,且OP=6a,OA=−$\frac{3}{2}$b,AB=2a十kb,k∈R,若A,B,P三点共线，则k=________.

答案： $\frac{1}{2}$

[典例1]　已知非零向量$\boldsymbol{e}_1$，$\boldsymbol{e}_2$不共线，如果$\overrightarrow{AB}=\boldsymbol{e}_1 + 2\boldsymbol{e}_2$，$\overrightarrow{BC}=-5\boldsymbol{e}_1 + 6\boldsymbol{e}_2$，$\overrightarrow{CD}=7\boldsymbol{e}_1 - 2\boldsymbol{e}_2$，试判断下列向量是否共线。
(1)$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{AD}$；(2)$\overrightarrow{BC}$与$\overrightarrow{BD}$；(3)$\overrightarrow{CD}$与$\overrightarrow{AC}$。

答案： 解:由题意可得,$\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} = \boldsymbol{e}_1 + 2\boldsymbol{e}_2 - 5\boldsymbol{e}_1 + 6\boldsymbol{e}_2 + 7\boldsymbol{e}_1 - 2\boldsymbol{e}_2 = 3\boldsymbol{e}_1 + 6\boldsymbol{e}_2$,$\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} = -5\boldsymbol{e}_1 + 6\boldsymbol{e}_2 + 7\boldsymbol{e}_1 - 2\boldsymbol{e}_2 = 2\boldsymbol{e}_1 + 4\boldsymbol{e}_2$,$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \boldsymbol{e}_1 + 2\boldsymbol{e}_2 - 5\boldsymbol{e}_1 + 6\boldsymbol{e}_2 = -4\boldsymbol{e}_1 + 8\boldsymbol{e}_2$。
(1)$\overrightarrow{AD} = 3(\boldsymbol{e}_1 + 2\boldsymbol{e}_2) = 3\overrightarrow{AB}$,$\therefore\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{AD}$共线。
(2)$\overrightarrow{BC}$与$\overrightarrow{BD}$不共线。
(3)$\overrightarrow{CD}$与$\overrightarrow{AC}$不共线。