《2025年新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

[典例1]　求下列各式的值:
　　(1)sin(−$\frac{5π}{3}$),cos(−$\frac{5π}{3}$);
　　(2)cos(−$\frac{4π}{3}$),sin(−$\frac{4π}{3}$);
　　(3)sin2π,cos2π.

答案：
解:
(1)由$-\frac{5\pi}{3}=-2\pi+\frac{\pi}{3}$，在单位圆中画出$-\frac{5\pi}{3}$，如图，可求得点$P(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})$，

故$\sin(-\frac{5\pi}{3})=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\cos(-\frac{5\pi}{3})=\frac{1}{2}$。
(2)由$-\frac{4\pi}{3}=-\pi-\frac{\pi}{3}$，在单位圆中画出$-\frac{4\pi}{3}$，如图，可求得点$P(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})$，

故$\cos(-\frac{4\pi}{3})=-\frac{1}{2}$，$\sin(-\frac{4\pi}{3})=\frac{\sqrt{3}}{2}$。
(3)在单位圆中画出$2\pi$，如图得$P(1,0)$，

故$\sin2\pi=0$，$\cos2\pi=1$。

1.sin$\frac{5π}{3}$等于　　　　　　　　　　　　　(　　　)
A.$\frac{\sqrt{3}}{2}$　　　　　　　B.−$\frac{\sqrt{3}}{2}$
C.$\frac{1}{2}$　　　　　　　　D.−$\frac{1}{2}$

答案： B

2.在单位圆中,α=$\frac{7π}{6}$.
　(1)画出角α;
　(2)求角α的终边与单位圆的交点.

答案：
解:
(1)以原点为角的顶点，以$x$轴的非负半轴为始边，逆时针旋转$\frac{7\pi}{6}$，即为角$\alpha$，角的终边与单位圆交于点$P$，如图所示，

(2)由$P$向$x$轴作垂线，垂足为$M$，且$\alpha=\frac{7\pi}{6}=\pi+\frac{\pi}{6}$，设$P(x,y)$，则$x=-\frac{\sqrt{3}}{2}$，$y=-\frac{1}{2}$，所以$P(-\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2})$。

(1)一般地，设角α终边上任意一点的坐标为(x,y),它与原点的距离为r,则sinα,cosα为何值？
　　(2)对于一个任意给定的角α,按照上述定义，对应的sinα,cosα的值是否存在？是否唯一?
　　(3)若已知α终边所在的直线方程为y=kx,则如何求sinα,cosα的值？

答案：
(1)提示:$\sin\alpha=\frac{y}{r}$，$\cos\alpha=\frac{x}{r}$。
(2)提示:角$\alpha$的三角函数值都是唯一确定的。
(3)提示:可在直线$y = kx$所过的两个象限中分别任取线上一点$(x_0,y_0)$，$x_0\neq0$，然后利用$\sin\alpha=\frac{y_0}{\sqrt{x_0^2 + y_0^2}}$，$\cos\alpha=\frac{x_0}{\sqrt{x_0^2 + y_0^2}}$求解。