《2025年新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

1. 试判断函数$f(x)=5\tan(-2x +\frac{\pi}{2})$具有哪些性质.

答案： ①$f(x)$的定义域、值域.
　函数$f(x)=5\tan(−2x+\frac{π}{2})=−5\tan(2x−\frac{π}{2})$,
　令$2x−\frac{π}{2}\neq\frac{π}{2}+kπ,k\in Z$,得$x\neq\frac{π}{2}+\frac{kπ}{2},k\in Z$,
　$\therefore f(x)$的定义域为$\{x|x\neq\frac{π}{2}+\frac{kπ}{2},k\in Z\}$,值域为$R$.
　②周期$T=\frac{π}{2}$
　③奇偶性:任取$f(x)$定义域内的$x$,
　则$f(−x)=−5\tan(−2x−\frac{π}{2})=5\tan(2x+\frac{π}{2})$
　$=5\tan[π+(2x−\frac{π}{2})]=5\tan(2x−\frac{π}{2})=−f(x)$,
　$\therefore f(−x)=−f(x)$.$\therefore f(x)$是奇函数.
　④单调性:根据正切函数的单调性知，令$-\frac{π}{2}+kπ\lt 2x−\frac{π}{2}\lt\frac{π}{2}+kπ,k\in Z$,得$\frac{kπ}{2}\lt x\lt\frac{π}{2}+\frac{kπ}{2},k\in Z$,
　$\therefore f(x)=−5\tan(2x−\frac{π}{2})$在$(\frac{kπ}{2},\frac{π}{2}+\frac{kπ}{2}),k\in Z$内单调递减.⑤对称性:由$2x−\frac{π}{2}=\frac{kπ}{2}$,得$x=\frac{π(k + 1)}{4},k\in Z$,
　$\therefore$函数$f(x)$的对称中心为$(\frac{π(k + 1)}{4},0),k\in Z$.

2. 是否存在实数$a$，且$a\in Z$，使得函数$y = \tan(\frac{\pi}{4}-ax)$在$x\in(\frac{\pi}{8},\frac{5\pi}{8})$上是单调递增的？若存在，求出$a$的一个值；若不存在，请说明理由.

答案： 解:$\because y = \tan\theta$在区间$(k\pi−\frac{π}{2},k\pi+\frac{π}{2})(k\in Z)$上单调递增,$\therefore a\lt 0$.又$x\in(\frac{π}{8},\frac{5}{8}π)$,$\therefore -ax\in(-\frac{a}{8}π,-\frac{5a}{8}π)$.$\therefore\frac{π}{4}-ax\in(\frac{π}{4}-\frac{a}{8}π,\frac{π}{4}-\frac{5a}{8}π)$.
　$\begin{cases}k\pi−\frac{π}{2}\leq\frac{π}{4}-\frac{a}{8}π(k\in Z)\\k\pi+\frac{π}{2}\geq\frac{π}{4}-\frac{5a}{8}π(k\in Z)\end{cases}$
　解得$-\frac{2}{5}-\frac{8k}{5}\leq a\leq 6 - 8k(k\in Z)$.令$-\frac{2}{5}-\frac{8k}{5}=6 - 8k$,解得$k = 1$,此时$-2\leq a\leq -2$,$\therefore a = -2\lt 0$.
　$\therefore$存在$a = -2\in Z$,满足题意

1. 判断正误:
　(1) 电流I(单位:A)随时间t(单位:s)变化的关系式是I = 2sin100πt,t∈(0,+∞),则电流I变化的周期是50.　　　　　　　　　　(　　　)
　(2) 某人的血压满足函数关系式f(t) = 24sin(160πt)+110,其中f(t)为血压,t为时间，则此人每分钟心跳的次数为70.　　(　　　)

答案：
(1)×　
(2)×

2. 如果单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离s(单位:cm)和时间t(单位:s)的函数解析式为s = 6sin(2πt + $\frac{π}{6}$),那么单摆来回摆一次所需的时间为　　　　　　　　　　　(　　　)
A. 2πs　　　B. πs　　　C. 0.5s　　　D. 1s

答案： D