《2025年新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

1.向量的数乘运算:
(1)定义:
　实数λ与向量a的乘积是一个向量，记作λa，满足以下条件:
　①当λ＞0时,向量λa与向量a的方向________;
　　当λ＜0时,向量λa与向量a的方向________;
　　当λ = 0时,0a = ______.
　②|λa| = ________.
　这种运算称为向量的数乘.
(2)几何意义:
　①当λ＞0时,表示向量a的有向线段在____________伸长或缩短为原来的|λ|倍.
　②当λ＜0时，表示向量a的有向线段在____________伸长或缩短为原来的|λ|倍.

答案：
(1)①相同，相反，0；②|λ|·|a|
(2)①原方向
②反方向

2.单位向量:
　在非零向量a方向上的单位向量是________.它表明一个非零向量除以它的模(乘它的模的倒数)的结果是一个与原向量____________的单位向量，这一过程称为向量的单位化.
课前预习{任务单

答案： a/|a|，同方向

3.数乘运算的运算律:
　设λ,μ为实数,a,b为向量,那么根据向量的数乘定义,可以得到以下运算律:
(1)$(\lambda +\mu)a$
(2)$\lambda(\mu a)$
(3)$\lambda (a+ b)$

答案： （1）$\lambda a+\mu a$ （2）$(\lambda\mu)a$ （3）$\lambda a+\lambda b$

4.线性运算:
　向量的________、________和________的综合运算,通常称为向量的线性运算(或线性组合).若一个向量c由向量a,b的线性运算得到,如c = 2a + 3b,则称向量c可以用向量a,b线性表示.

答案： 加法，减法，数乘

1.判断正误:
　(1)λa的方向与a的方向一致.　　　　(　　　)
　(2)若λa = 0,则a = 0.　　　　　　　　　(　　　)
　(3)对于任意实数m和向量a,b,若ma = mb,则a = b.　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)
　(4)向量−$\frac{\boldsymbol{a}}{\vert\boldsymbol{a}\vert}$与a的单位向量方向相反.(　　　)

答案：
(1)×
(2)×
(3)×
(4)√

2.已知非零向量a,b满足a = 4b,则　　　(　　　)　
A.|a| = |b|　　　　　　B.4|a| = |b|　
C.a与b的方向相同　　D.a与b的方向相反

答案： C

3.3(2a - 4b)等于　　　　　　　　　　　　(　　　)　
A.5a + 7b　　　　　　　B.5a - 7b　
C.6a + 12b　　　　　　D.6a - 12b

答案： D