《2025年新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

[典例2]　下列命题:
①直线l平行于平面α内的无数条直线,则l//α;②若直线a在平面α外,则a//α;
③若直线a//b,b⊂α,那么直线a就平行于平面α内的无数条直线。
其中真命题的个数为　　　　　　　　(　　　)
A.0　　　　　　　　　B.1
C.2　　　　　　　　　D.3

答案： B

1.已知平面α//平面β,直线a⊂α,则直线a与平面β的位置关系为__________。

答案： a//β

2.在长方体ABCD - A₁B₁C₁D₁的六个表面与六个对角面(平面AA₁C₁C、平面AB₁C₁D₁、平面ADC₁B₁、平面A₁BCD₁、平面BB₁D₁D及平面A₁B₁CD)所在的平面中,与棱AA₁平行的平面共有__________个。

答案： 3

[典例3]　如图所示,已知l₁∩l₂ = A,l₂∩l₃ = B,l₁∩l₃ = C。求证:直线l₁,l₂,l₃ 在同一平面内。

答案： 证明:(法一)纳入平面法
∵l1∩l2 = A,
∴l1和l2确定一个平面α.
∵l2∩l3 = B,
∴B∈l2.又
∵l2⊂α,
∴B∈α.
同理可证C∈α.
又
∵B∈l3,C∈l3,
∴l3⊂α.
∴直线l1,l2,l3在同一平面内.
(法二)辅助平面法
∵l1∩l2 = A,
∴l1,l2确定一个平面α.
∵l2∩l3 = B,
∴l2,l3确定一个平面β.
∵A∈l2,l2⊂α,
∴A∈α.
∵A∈l3,l3⊂β,
∴A∈β.
同理可证B∈α,B∈β,C∈α,C∈β.
∴不共线的三个点A,B,C既在平面α内，又在平面β内.
∴平面α和β重合,即直线l1,l2,l3在同一平面内.

已知直线a//b,直线l与a,b都相交。求证:过a,b,l有且只有一个平面。

答案：
证明:如图所示.
∵a//b,
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴过a,b有且只有一个平面α.
设a∩l = A,b∩l = B.
∴A∈α,B∈α,且A∈l,B∈l.
∴l⊂α,即过a,b,l有且只有一个平面.