《2025年新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

1. (2023·新课标I卷)已知向量a=(1,1)，b = (1, -1)，若(a + λb)⊥(a + μb)，则(　　)
A. λ + μ = 1　　　　　
B. λ + μ = -1
C. λμ = 1　　　　　　
D. λμ = -1

答案： D

2. 如图，在2×4的方格纸中，若a,b为起点和终点均在格点的向量，则向量a + b，a - b的夹角的余弦值是________。

答案： −$\frac{4√65}{65}$

3. 如图，CD是△ABC的中线，CD = $\frac{1}{2}$AB，用向量方法证明△ABC是直角三角形。

答案： 证明:设CD=a,DA=b,则CA=a+b,DB=−b,　于是CB=a−b.CA.CB=(a+b).(a−b)=a²−b².　因为CD=$\frac{1}{2}$AB,所以CD=DA.　因为a²=CD²,b²=DA²,所以CA.CB=0.　因此∠ACB=90°,所以△ABC是直角三角形.

1. 已知向量$\vec{a}=(2,1)$，$\vec{b}=(1,k)$，且$\vec{a}$与$\vec{b}$的夹角为锐角，求实数$k$的取值范围。
甲：因为$\vec{a}$与$\vec{b}$的夹角为锐角，
所以$\vec{a}\cdot\vec{b}＞0$，即$\vec{a}\cdot\vec{b}=2 + k＞0$，得$k＞ - 2$，故实数$k$的取值范围是$( - 2, +\infty)$。
乙：当$\vec{a}$与$\vec{b}$共线时，$2k - 1 = 0$，$k = \frac{1}{2}$，
此时$\vec{a}$，$\vec{b}$方向相同，夹角为$0^{\circ}$。所以要使$\vec{a}$与$\vec{b}$的夹角为锐角，则有$\vec{a}\cdot\vec{b}＞0$且$\vec{a}$，$\vec{b}$不同向。由$\vec{a}\cdot\vec{b}=2 + k＞0$，得$k＞ - 2$，且$k\neq\frac{1}{2}$，
故实数$k$的取值范围是$( - 2,\frac{1}{2})\cup(\frac{1}{2}, +\infty)$。
上面是甲、乙两名同学的解答，请你分析判定哪位同学的解答正确，并指出错误解法的错误之处。

答案： 提示：比较两同学的解法可知甲同学的解答错误，乙同学的解答正确。甲同学的错误在于：a与b的夹角为锐角并不等价于a·b＞0，a·b＞0等价于a与b的夹角为锐角或0°。事实上，由a与b的夹角为锐角应得出0＜cosθ = $\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\vert\vec{a}\vert\vert\vec{b}\vert}$＜1。

2. 对于任意的$a$，$b$，$c$，$d\in R$，试用向量方法证明不等式$(ac + bd)^2\leq(a^2 + b^2)(c^2 + d^2)$。
[析题建模]

答案： 证明：令$\vec{m}=(a,b)$，$\vec{n}=(c,d)$，设$\vec{m}$，$\vec{n}$的夹角为θ，则$\vec{m}\cdot\vec{n}=\vert\vec{m}\vert\vert\vec{n}\vert\cos\theta$。所以$\vert\vec{m}\cdot\vec{n}\vert\leq\vert\vec{m}\vert\vert\vec{n}\vert$，由于$\vec{m}\cdot\vec{n}=ac + bd$，$\vert\vec{m}\vert = \sqrt{a^{2}+b^{2}}$，$\vert\vec{n}\vert = \sqrt{c^{2}+d^{2}}$，所以$ac + bd\leq\sqrt{a^{2}+b^{2}}\cdot\sqrt{c^{2}+d^{2}}$，从而$(ac + bd)^{2}\leq(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})$。