《2025年新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

1. (2023.全国甲卷)在△ABC中，∠BAC = 60°，AB = 2，BC = $\sqrt{6}$，∠BAC的平分线交BC于D，则AD = ________。

答案： 2

2. 在古希腊数学家海伦的著作《度量》一书中记载了著名的海伦公式，利用三角形的三边长求三角形的面积。若三角形的三边长分别为a，b，c，则其面积S = $\sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$，这里p = $\frac{a + b + c}{2}$。已知在△ABC中，BC = 6，AB = 2AC，求当△ABC的面积最大时，sinA的值。
[析题建模] 由海伦公式，结合基本不等式，求出△ABC的面积最大时边AB及AC的长。再由余弦定理求出cosA，进而求出sinA。

答案： 解:设AC = x, AB = 2x,则由海伦公式得
S = $\sqrt{\frac{6 + 3x}{2} \cdot \frac{3x - 6}{2} \cdot \frac{x}{2} \cdot \frac{6 - x}{2}}$
= $\frac{3}{4} \sqrt{(x + 2)(x - 2)(6 + x)(6 - x)}$
= $\frac{3}{4} \sqrt{(x^2 - 4)(36 - x^2)} \leq \frac{3}{4} \cdot \frac{(x^2 - 4) + (36 - x^2)}{2} = 12$,当且仅当$x^2 - 4 = 36 - x^2$,
即$x = 2\sqrt{5}$,即AC = $2\sqrt{5}$, AB = $4\sqrt{5}$时不等式取等号.
所以△ABC的面积的最大值为12，此时由余弦定理得
$\cos A = \frac{(2\sqrt{5})^2 + (4\sqrt{5})^2 - 6^2}{2\times 2\sqrt{5} \times 4\sqrt{5}} = \frac{4}{5}$,故$\sin A = \sqrt{1 - \cos^2 A} = \frac{3}{5}$.

3. 某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为$\frac{1}{13}$，$\frac{1}{11}$，$\frac{1}{5}$，则此人（ ）
A. 不能作出这样的三角形
B. 能作出一个锐角三角形
C. 能作出一个直角三角形
D. 能作出一个钝角三角形

答案： D

正弦定理的表示:

答案： 正弦 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$

[微思考]　(1)已知三角形的哪几个元素，可以用正弦定理解相应三角形？
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　　(2)正弦定理的常见变形有哪些？试列举.
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答案：
(1)提示:①已知两角及其中一角的对边。
②已知两角及另外一角的对边，此时不能直接利用正弦定理，需利用三角形内角和定理求已知边的对角。
③已知两边及一边的对角。
(2)提示:①$a = 2R\sin A$，$b = 2R\sin B$，$c = 2R\sin C$（$R$为$\triangle ABC$外接圆的半径）。
②$\sin A=\frac{a}{2R}$，$\sin B=\frac{b}{2R}$，$\sin C=\frac{c}{2R}$（$R$为$\triangle ABC$外接圆的半径）。
③三角形的边长之比等于对应角的正弦比，即$a:b:c = \sin A:\sin B:\sin C$。
④$\frac{a + b + c}{\sin A + \sin B + \sin C}=\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$。
⑤$a\sin B = b\sin A$，$a\sin C = c\sin A$，$b\sin C = c\sin B$。

1. 判断正误:
　(1)正弦定理只适用于锐角三角形.　　(　　　)
　(2)正弦定理不适用于直角三角形.　　(　　　)
　(3)在某一确定的三角形中，各边与它所对角的正弦的比是一定值.　　　　　　　　(　　　)
　(4)在△ABC中，sinA:sinB:sinC = BC:AC:AB.　　　　　　　　　　　　　　(　　　)

答案：
(1)×
(2)×
(3)√
(4)√

2. 在△ABC中，A = 45°，c = 2，则AC边上的高等于________.

答案： $\sqrt{2}$

3. 在△ABC中，若A = 60°，B = 45°，BC = 3$\sqrt{2}$，则AC = ________.

答案： $2\sqrt{3}$

4. 在锐角三角形ABC中，角A，B所对的边分别为a，b，若2asinB = $\sqrt{3}$b，则A = ________.

答案： $\frac{\pi}{3}$