《2025年新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

如图，在正方形ABCD中,E,F分别为AB，BC的中点，求证:AF⊥DE(利用向量证明).

答案： 证明:设AB = a,AD = b,则AF = a + $\frac{1}{2}$b,ED = b - $\frac{1}{2}$a.
∴AF·ED = (a + $\frac{1}{2}$b)·(b - $\frac{1}{2}$a) = $\frac{1}{2}$b² - $\frac{1}{2}$a² + $\frac{3}{4}$a·b.
又AB⊥AD,且|AB| = |AD|,
∴a² = b²,a·b = 0.
∴AF·ED = 0,
∴AF⊥ED即AF⊥DE.

[典例2]　已知Rt△ABC中,∠C = 90°,设AC = m,BC = n.
(1)若D为AB的中点,求证:CD = $\frac{1}{2}$AB;
(2)若E为CD的中点，连接AE并延长交BC于F,求AF的长度(用m,n表示).

答案：
解:
(1)证明:以C为坐标原点，以边CB,CA所在的直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图 ，则A(0,m),B(n,0).
∵D为AB的中点，
∴D($\frac{n}{2}$,$\frac{m}{2}$).
∴|CD| = $\frac{1}{2}\sqrt{n² + m²}$
∵|AB| = $\sqrt{m² + n²}$
∴|CD| = $\frac{1}{2}$|AB|,即CD = $\frac{1}{2}$AB.
(2)
∵E为CD的中点,
∴E($\frac{n}{4}$,$\frac{m}{4}$).
设F(x,0),则$\overrightarrow{AE}$ = ($\frac{n}{4}$,-$\frac{3}{4}$m),$\overrightarrow{AF}$ = (x,-m).
∵A,E,F三点共线,
∴设$\overrightarrow{AF}$ = λ$\overrightarrow{AE}$.
即(x,-m) = λ($\frac{n}{4}$,-$\frac{3}{4}$m),则$\begin{cases}x = \frac{n}{4}\lambda\\-m = -\frac{3}{4}\lambda m\end{cases}$
解得λ = $\frac{4}{3}$,x = $\frac{n}{3}$
∴F($\frac{n}{3}$,0).
∴|AF| = $\frac{1}{3}\sqrt{n² + 9m²}$,即AF = $\frac{1}{3}\sqrt{n² + 9m²}$

如图,在平行四边形ABCD中,AD = 1,AB = 2,对角线BD = 2,求对角线AC的长.

答案： 解:设AD = a,AB = b,则BD = a - b,AC = a + b.
∵|BD| = |a - b| = $\sqrt{a² - 2a·b + b²}$
= $\sqrt{1 + 4 - 2a·b}$ = $\sqrt{5 - 2a·b}$ = 2,
∴5 - 2a·b = 4,
∴a·b = $\frac{1}{2}$
又
∵|AC|² = |a + b|² = a² + 2a·b + b² = 1 + 4 + 2a·b = 6,
∴|AC| = $\sqrt{6}$,即AC = $\sqrt{6}$

[典例3]　一条宽为$\sqrt{3}$km的河,水流速度为2km/h,在河的两岸各有一个码头，分别为A,B,已知AB = $\sqrt{3}$km,船在水中最大航速为4km/h,则当船从A码头最快到达彼岸B码头时，所用的时间为________h.

答案： 0.5

已知两个大小相等的共点力F₁,F₂,当它们的夹角为90°时，合力大小为20N,则当它们的夹角为120°时，合力大小为(　　　)
A.40N　　　　　　　　B.10$\sqrt{2}$N
C.20$\sqrt{2}$N　　　　　　D.10$\sqrt{3}$N

答案： B

[典例4]　两个力F₁ = i + j,F₂ = 4i - 5j作用于同一质点，使该质点从点A(20,15)移动到点B(7,0).(其中i,j分别是x轴正方向、y轴正方向上的单位向量,力的单位是N,位移的单位是m)求:
(1)F₁,F₂分别对该质点做的功;
(2)F₁,F₂的合力F对该质点做的功.

答案： 解:
(1)根据题意,F₁ = i + j = (1,1),F₂ = 4i - 5j = (4,-5),$\overrightarrow{AB}$ = (-13,-15),故F₁对该质点做的功W₁ = F₁·$\overrightarrow{AB}$ = -13 - 15 = -28(J),F₂对该质点做的功W₂ = F₂·$\overrightarrow{AB}$ = -13×4 - 15×(-5) = 23(J).
(2)根据题意,F₁,F₂的合力F = F₁ + F₂ = (5,-4),故F₁,F₂的合力F对该质点做的功W = F·$\overrightarrow{AB}$ = 5×(-13) - 4×(-15) = -5(J).