《2025年核心素养新讲堂七年级数学》

例 2
设 $ S = \sqrt{1 + \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2}} + \sqrt{1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2}} + ·s + \sqrt{1 + \frac{1}{2016^2} + \frac{1}{2017^2}} $，则 $ S $ 最接近的整数是()。

A.2015
B.2016
C.2017
D.2018
 

答案： C

例 3
(1)已知 $ m $，$ n $ 分别是 $ 8 - \sqrt{11} $ 的整数部分和小数部分，求 $ n - m $ 的值。
(2)设 $ a = \sqrt[3]{3} $，$ b $，$ c $ 分别是 $ a $，$ a^2 $ 的小数部分，求 $ b(b + c + 4) $ 的值。
 

答案：
(1)
∵3＜√11＜4，
∴-4＜-√11＜-3，
∴4＜8-√11＜5，m=4，n=8-√11-4=4-√11，n-m=4-√11-4=-√11。
(2)a=∛3，1＜a＜2，b=a-1；a²=∛9，2＜a²＜3，c=a²-2；b(b+c+4)=(a-1)(a-1+a²-2+4)=(a-1)(a²+a+1)=a³-1=3-1=2。

例 4
设 $ x $，$ y $ 都是有理数，且满足方程 $ (\frac{1}{2} + \frac{\pi}{3})x + (\frac{1}{3} + \frac{\pi}{2})y - 4 - \pi = 0 $，求 $ x - y $ 的值。
(“希望杯”邀请赛试题)
 

答案： 18