《2025年核心素养新讲堂七年级数学》

5. 若关于 $x$，$y$ 的方程组 $\begin{cases}ax + 3y = 9, \\ 2x - y = 1\end{cases}$ 无解，则 $a$ 的值为( ).

A.$- 6$
B.$6$
C.$9$
D.$30$

答案： 5.A

6. 将两张全等的矩形纸片和另两张全等的正方形纸片按如图方式不重叠地放置在矩形 $ABCD$ 内，其中矩形纸片和正方形纸片的周长相等. 若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出(C).

A.正方形纸片的面积
B.四边形 $EFGH$ 的面积
C.$\triangle BEF$ 的面积
D.$\triangle AEH$ 的面积
 

答案： 6.C 设$EF=x,FM=y$，则$BM=x+y$,$S_{阴影}=2S_{\triangle BEF}+2S_{\triangle FG}+S_{正方形FGH}=x(x+y)+xy+x^2=2x(x+y)=4S_{\triangle BEF}$。

7. “双 11”促销活动中，小芳的妈妈计划用 $1000$ 元在某购物平台购买价格分别为 $80$ 元和 $120$ 元的两种商品，则可供小芳妈妈选择的购买方案有(A).

A.$4$ 种
B.$5$ 种
C.$6$ 种
D.$7$ 种
 

答案： 7.A 设购买$80$元、$120$元的两种商品$x$件、$y$件，则$80x+120y=1000$($x,y$为正整数)，即$2x+3y=25$，$y=1,3,5,7$。

8. 已知 $\vert\vert x + 2\vert-\vert y + 2\vert\vert=\vert\vert y + 2\vert-\vert x - y\vert\vert=\vert\vert x - y\vert-\vert x + 2\vert\vert$，则 $x + y=$(B).

A.$- 2$
B.$- 4$
C.$0$
D.$4$
 

答案： 8.B 设$a=|x+2|,b=|y+2|,c=|x-y|$，则$|a-b|=|b-c|=|c-a|$，得$a=b=c$.
由$|x+2|=|y+2|$得$x=y$或$x+y=-4$，由$|y+2|=|x-y|$得$x=-2$或$2y=x-2$，有：
$\begin{cases}x=y,\\x=-2;\end{cases}\begin{cases}x=y,\\2y=x-2;\end{cases}\begin{cases}x+y=-4,\\x=-2;\end{cases}\begin{cases}x+y=-4,\\2y=x-2;\end{cases}$
解得$x=y=-2$。

9. 对于任意实数 $a$，$b$，定义关于“$\otimes$”的一种运算如下：$a\otimes b = 2a + b$. 例如 $3\otimes 4 = 2× 3 + 4 = 10$.
（1）求 $2\otimes (-5)$ 的值；
（2）若 $x\otimes (-y)=2$，且 $2y\otimes x=-1$，求 $x + y$ 的值.
（江苏省扬州市中考题）

答案： 9.
(1)原式$=-1$。
(2)由条件得$\begin{cases}2x-y=2,\\4y+x=-1,\end{cases}$解得$x+y=\frac{1}{3}$。

10. 小丽购买学习用品的收据如表，因污损导致部分数据无法识别，根据下表，解决下面的问题：

（1）小丽买了自动铅笔、记号笔各几支？
（2）若小丽再次购买软皮笔记本和自动铅笔两种文具，共花费 $15$ 元，则有哪几种不同的购买方案？
 

答案： 10.
(1)1支、2支.
(2)设小丽购买软皮笔记本$m$本，自动铅笔$n$支，得$\frac{9}{2}m+\frac{3}{2}n=15$，即$3m+n=10$，
$\because m,n$为正整数，$\therefore\begin{cases}m=1\\n=7\end{cases}$或$\begin{cases}m=2\\n=4\end{cases}$或$\begin{cases}m=3\\n=1\end{cases}$
共有$3$种购买方案.